Цео број

Цалин симбол, који се често користи за означавање сета целих бројева (погледајте списак математичких симбола)

Цели бројеви, поједностављено говорећи, су сви „округли“ бројеви, тј. без децимала, укључујући нулу, позитивне и негативне бројеве.^[1] То су дакле бројеви 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, итд, али и бројеви -1, -2, -3, ..., -100, -101, итд.^[2]^[3]

Скуп свих целих бројева се у математици означава великим латиничним словом $\mathbb {Z}$ , и спада у пребројиве скупове.^[4]^[5]^[6] Скуп целих бројева састоји се од нуле (0), позитивних природних бројева (1, 2, 3, ...), који се називају и цели бројеви или редни бројање, и њихових адитивних инверзних вредности (негативни цели бројеви, тј. −1, −2, −3, ...).^[7]^[8] Скуп целих бројева често се означава подебљаним словима, $Z$ или $(\mathbb {Z} )$ , слова „Z”, што потиче од првобитне немачке речи Zahlen („бројеви”).^[9]^[10]^[3]

Симбол

Симбол $\mathbb {Z}$ се може користити да означава различите скупове, са различитим употребама међу различитим ауторима: $\mathbb {Z} ^{+}$ , $\mathbb {Z} _{+}$ или $\mathbb {Z} ^{>}$ за целе позитивне бројеве, $\mathbb {Z} ^{0+}$ или $\mathbb {Z} ^{\geq }$ за не-негативне целе бројеве и $\mathbb {Z} ^{\neq }$ за целе бројеве који нису нула. Неки аутори користе $\mathbb {Z} ^{*}$ за целе бројеве који нису нула, док га други користе за не-негативне целе бројеве или за ${-1, 1}$ . Поред тога, $\mathbb {Z} _{p}$ се користи за означавање било целог броја по модулу $p$ (тј., скупа класа подударности целих бројева), или скуп $p$ -адитивних целих бројева.^[4]^[5]^[11]

Алгебарска својства

Цели бројеви се могу сматрати дискретним, једнако размакнутим тачкама на бесконачно дугој бројевној правој. У горе наведеном, негативни цели бројеви су приказани плавом бојом, а негативни црвени.

Као и природни бројеви, скуп $\mathbb {Z}$ је затворен за операције сабирања и множења. То значи да је збир и производ било која два цела броја опет цео број. Међутим, за разлику од природних бројева, скуп целих бројева је затворен и за одузимање.^[12] Ово не важи и за дељење, јер количник два цела броја не мора да буде цео број (на пример, 1 подељено са 2).

Нека основна својства сабирања и множења било којих целих бројева, a, b и c.
	сабирање	множење
Затвореност:	$a + b$ је цео број	$a \times b$ је цео број
Асоцијативност:	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
Комутативност:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Постојање елемента идентитета:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
scope="row" Постојање инверзних елемената:	$a + (- a) = 0$	Једини инвертабилни цели бројеви (који се називају јединице) су $-1$ и $1$ .
Дистрибутивност:	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ and $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
Нема нултог делитеља:		Ако је $a \times b = 0$ , онда $a = 0$ или $b = 0$ (или оба)

Правила за сабирање целих бројева:

Знак збира је исти као знак сабирка са већом апсолутном вредношћу.
Апсолутна вредност збира једнака је:
- збиру апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака исти;
- разлици апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака различити.

Теоретска својства реда

$\mathbb {Z}$ је потпуно уређен скуп без горње или доње границе. Редослед $\mathbb {Z}$ је дат са: $... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ Цео број је позитиван ако је већи од нуле, а негативан ако је мањи од нуле. Нула се дефинише као ни негативна, нити позитивна.

Поредак целих бројева компатибилан је са алгебарским операцијама на следећи начин:

ако су $a < b$ и $c < d$ , онда је $a + c < b + d$
ако је $a < b$ и $0 < c$ , онда је $ac < bc$ .

Стога следи да је $\mathbb {Z}$ заједно са горенаведеним редоследом уређен прстен.

Цели бројеви су једина нетривијална потпуно уређена абеловска група чији су позитивни елементи добро уређени.^[13] Ово је еквивалентно тврдњи да је било који Нотеров прстен вредновања поље - или дискретни прстен вредновања.

Конструкција

Црвене тачке представљају уређене парове природних бројева. Повезане црвене тачке су класе еквиваленције које представљају плаве целе бројеве на крају реда.

У настави основних школа цели бројеви се често интуитивно дефинишу као (позитивни) природни бројеви, нула и негације природних бројева. Међутим, овај стил дефиниције доводи до много различитих случајева (сваку аритметичку операцију треба дефинисати на свакој комбинацији типова целих бројева) и тиме се отежава доказивање да се цели бројеви покоравају различитим законима аритметике.^[14] Због тога се у савременој теоретској математици скупова уместо тога често користи апстрактнија конструкција^[15] која омогућава дефинисање аритметичких операција без разликовања засебних подсетова.^[16] Тако се цели бројеви могу формално конструисати као класе еквиваленције уређених парова природних бројева $(a, b)$ .^[17]

Интуитивно разумевање је да $(a, b)$ представља резултат одузимања $b$ од $a$ .^[17] Да би се потврдило очекивање да 1 − 2 и 4 − 5 означавају исти број, дефинише се однос еквиваленције $~$ на овим паровима следећим правилом:

(a,b)\sim (c,d)

тачно када

a+d=b+c.

Сабирање и множење целих бројева може се дефинисати у смислу еквивалентних операција на природним бројевима;^[17] коришћењем $[(a, b)]$ за означавање класе еквиваленције која има $(a, b)$ као члан, добија се:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Негација (или инверзни адитив) целог броја добија се обрнутим редоследом пара:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

Отуда се одузимање може дефинисати као сабирање инверзије адитива:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

Стандардно уређивање целих бројева дато је са:

[(a,b)]<[(c,d)]

ако и само ако

a+d<b+c.

Лако се може проверити да су ове дефиниције независне од избора представника класа еквиваленције.

Свака класа еквиваленције има јединствени члан који има облик $(n,0)$ или $(0, n)$ (или оба одједном). Природни број $n$ је идентификован са класом $[(n,0)]$ (i.e.. природни бројеви су део целих бројева папирањем $n$ у $[(n,0)]$ ), и класа $[(0, n)]$ је означена као $- n$ (ово покрива све преостале класе и даје класу $[(0,0)]$ други пут јер је $-0 = 0.$

Тако је, $[(a, b)]$ означено са

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{ако је  }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{ако је  }}a<b.\end{cases}}

Ако су природни бројеви идентификовани са одговарајућим целим бројевима (користећи горе наведена уграђивања), ова конвенција не ствара нејасноће.

Овај запис опоравља познати приказ целих бројева као ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ .

Неки примери су:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

У теоријском рачунарству други приступи за конструисање целих бројева користе се помоћу аутоматизованих доказивача теорема и механизама за реформулацију термина. Цели бројеви су представљени као алгебарски појмови изграђени помоћу неколико основних операција (нпр. zero, succ, pred) и, вероватно, коришћењем природних бројева, за које се претпоставља да су већ конструисани (користећи, рецимо, Пеанов приступ).

Постоји најмање десет таквих конструкција знаковних целих бројева.^[18] Ове конструкције се разликују на неколико начина: број основних операција које се користе за конструкцију, број (обично између 0 и 2) и врсте аргумената које ове операције прихватају; присуство или одсуство природних бројева као аргумената неких од ових операција и чињеница да су те операције слободни конструктори или не, тј. да се исти цео број може представити користећи само један или више алгебарских појмова.

Референце

^ Evans, Nick (1995). „A-Quantifiers and Scope”. Ур.: Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. стр. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.
^ Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Архивирано из оригинала 31. 01. 2010. г. Приступљено 2010-09-20.
^ ^а ^б Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15.
^ ^а ^б Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ ^а ^б LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
^ Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Counting Number”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Whole Number”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Integer”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.
^ Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Архивирано из оригинала 2010-01-31. г. Приступљено 2010-09-20.
^ Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.
^ „Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.
^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Архивирано из оригинала 2015-09-06. г. Приступљено 2015-04-29. .
^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15. .
^ Ivorra Castillo. Álgebra.
^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. стр. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15. .
^ ^а ^б ^в Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. стр. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. стр. 120—134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Архивирано из оригинала 2018-01-26. г. Приступљено 2018-01-25.

Литература

Bell, E.T., Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; Bell, Eric Temple (1965). Men of Mathematics. The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincare. Simon and Schuster. ISBN 0-671-46400-0. )/(Paperback; Bell, E. T. (15. 10. 1986). Men of Mathematics. Simon and Schuster. ISBN 0-671-62818-6. )
Herstein, I.N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), Herstein, I. N. (16. 1. 1991). Topics in Algebra. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-01090-1. .
Mac Lane, Saunders, and Garrett Birkhoff; Algebra, American Mathematical Society; 3rd edition (1999). Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra. American Mathematical Soc. ISBN 0-8218-1646-2. .

Спољашње везе

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Integer”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS
Weisstein, Eric W. „Цео број”. MathWorld.

[1] Evans, Nick (1995). „A-Quantifiers and Scope”. Ур.: Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. стр. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.

[2] Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Архивирано из оригинала 31. 01. 2010. г. Приступљено 2010-09-20.

[Cameron1998-3] а ^б Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15.

[edexcelc1-4] а ^б Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008

[#1-5] а ^б LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.

[6] Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.

[MathWorld_CountingNumber-7] Weisstein, Eric W. „Counting Number”. MathWorld.

[MathWorld_WholeNumber-8] Weisstein, Eric W. „Whole Number”. MathWorld.

[9] Weisstein, Eric W. „Integer”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.

[10] Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Архивирано из оригинала 2010-01-31. г. Приступљено 2010-09-20.

[11] Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.

[12] „Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.

[13] Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Архивирано из оригинала 2015-09-06. г. Приступљено 2015-04-29. .

[14] Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15. .

[15] Ivorra Castillo. Álgebra.

[16] Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. стр. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Архивирано из оригинала 2016-12-08. г. Приступљено 2016-02-15. .

[Campbell-1970-p83-17] а ^б ^в Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. стр. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.

[18] Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. стр. 120—134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Архивирано из оригинала 2018-01-26. г. Приступљено 2018-01-25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]