Ceo broj

Calin simbol, koji se često koristi za označavanje seta celih brojeva (pogledajte spisak matematičkih simbola)

Celi brojevi, pojednostavljeno govoreći, su svi „okrugli“ brojevi, tj. bez decimala, uključujući nulu, pozitivne i negativne brojeve.^[1] To su dakle brojevi 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, itd, ali i brojevi -1, -2, -3, ..., -100, -101, itd.^[2]^[3]

Skup svih celih brojeva se u matematici označava velikim latiničnim slovom $\mathbb {Z}$ , i spada u prebrojive skupove.^[4]^[5]^[6] Skup celih brojeva sastoji se od nule (0), pozitivnih prirodnih brojeva (1, 2, 3, ...), koji se nazivaju i celi brojevi ili redni brojanje, i njihovih aditivnih inverznih vrednosti (negativni celi brojevi, tj. −1, −2, −3, ...).^[7]^[8] Skup celih brojeva često se označava podebljanim slovima, $Z$ ili $(\mathbb {Z} )$ , slova „Z”, što potiče od prvobitne nemačke reči Zahlen („brojevi”).^[9]^[10]^[3]

Simbol uredi

Simbol $\mathbb {Z}$ se može koristiti da označava različite skupove, sa različitim upotrebama među različitim autorima: $\mathbb {Z} ^{+}$ , $\mathbb {Z} _{+}$ ili $\mathbb {Z} ^{>}$ za cele pozitivne brojeve, $\mathbb {Z} ^{0+}$ ili $\mathbb {Z} ^{\geq }$ za ne-negativne cele brojeve i $\mathbb {Z} ^{\neq }$ za cele brojeve koji nisu nula. Neki autori koriste $\mathbb {Z} ^{*}$ za cele brojeve koji nisu nula, dok ga drugi koriste za ne-negativne cele brojeve ili za ${-1, 1}$ . Pored toga, $\mathbb {Z} _{p}$ se koristi za označavanje bilo celog broja po modulu $p$ (tj., skupa klasa podudarnosti celih brojeva), ili skup $p$ -aditivnih celih brojeva.^[4]^[5]^[11]

Algebarska svojstva uredi

Celi brojevi se mogu smatrati diskretnim, jednako razmaknutim tačkama na beskonačno dugoj brojevnoj pravoj. U gore navedenom, negativni celi brojevi su prikazani plavom bojom, a negativni crveni.

Kao i prirodni brojevi, skup $\mathbb {Z}$ je zatvoren za operacije sabiranja i množenja. To znači da je zbir i proizvod bilo koja dva cela broja opet ceo broj. Međutim, za razliku od prirodnih brojeva, skup celih brojeva je zatvoren i za oduzimanje.^[12] Ovo ne važi i za deljenje, jer količnik dva cela broja ne mora da bude ceo broj (na primer, 1 podeljeno sa 2).

Neka osnovna svojstva sabiranja i množenja bilo kojih celih brojeva, a, b i c.
	sabiranje	množenje
Zatvorenost:	$a + b$ je ceo broj	$a \times b$ je ceo broj
Asocijativnost:	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
Komutativnost:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Postojanje elementa identiteta:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
scope="row" Postojanje inverznih elemenata:	$a + (- a) = 0$	Jedini invertabilni celi brojevi (koji se nazivaju jedinice) su $-1$ i $1$ .
Distributivnost:	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ and $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
Nema nultog delitelja:		Ako je $a \times b = 0$ , onda $a = 0$ ili $b = 0$ (ili oba)

Pravila za sabiranje celih brojeva:

Znak zbira je isti kao znak sabirka sa većom apsolutnom vrednošću.
Apsolutna vrednost zbira jednaka je:
- zbiru apsolutnih vrednosti sabiraka, ako su znaci sabiraka isti;
- razlici apsolutnih vrednosti sabiraka, ako su znaci sabiraka različiti.

Teoretska svojstva reda uredi

$\mathbb {Z}$ je potpuno uređen skup bez gornje ili donje granice. Redosled $\mathbb {Z}$ je dat sa: $... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ Ceo broj je pozitivan ako je veći od nule, a negativan ako je manji od nule. Nula se definiše kao ni negativna, niti pozitivna.

Poredak celih brojeva kompatibilan je sa algebarskim operacijama na sledeći način:

ako su $a < b$ i $c < d$ , onda je $a + c < b + d$
ako je $a < b$ i $0 < c$ , onda je $ac < bc$ .

Stoga sledi da je $\mathbb {Z}$ zajedno sa gorenavedenim redosledom uređen prsten.

Celi brojevi su jedina netrivijalna potpuno uređena abelovska grupa čiji su pozitivni elementi dobro uređeni.^[13] Ovo je ekvivalentno tvrdnji da je bilo koji Noterov prsten vrednovanja polje - ili diskretni prsten vrednovanja.

Konstrukcija uredi

Crvene tačke predstavljaju uređene parove prirodnih brojeva. Povezane crvene tačke su klase ekvivalencije koje predstavljaju plave cele brojeve na kraju reda.

U nastavi osnovnih škola celi brojevi se često intuitivno definišu kao (pozitivni) prirodni brojevi, nula i negacije prirodnih brojeva. Međutim, ovaj stil definicije dovodi do mnogo različitih slučajeva (svaku aritmetičku operaciju treba definisati na svakoj kombinaciji tipova celih brojeva) i time se otežava dokazivanje da se celi brojevi pokoravaju različitim zakonima aritmetike.^[14] Zbog toga se u savremenoj teoretskoj matematici skupova umesto toga često koristi apstraktnija konstrukcija^[15] koja omogućava definisanje aritmetičkih operacija bez razlikovanja zasebnih podsetova.^[16] Tako se celi brojevi mogu formalno konstruisati kao klase ekvivalencije uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ .^[17]

Intuitivno razumevanje je da $(a, b)$ predstavlja rezultat oduzimanja $b$ od $a$ .^[17] Da bi se potvrdilo očekivanje da 1 − 2 i 4 − 5 označavaju isti broj, definiše se odnos ekvivalencije $~$ na ovim parovima sledećim pravilom:

(a,b)\sim (c,d)

tačno kada

a+d=b+c.

Sabiranje i množenje celih brojeva može se definisati u smislu ekvivalentnih operacija na prirodnim brojevima;^[17] korišćenjem $[(a, b)]$ za označavanje klase ekvivalencije koja ima $(a, b)$ kao član, dobija se:

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].

Negacija (ili inverzni aditiv) celog broja dobija se obrnutim redosledom para:

-[(a,b)]:=[(b,a)].

Otuda se oduzimanje može definisati kao sabiranje inverzije aditiva:

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].

Standardno uređivanje celih brojeva dato je sa:

[(a,b)]<[(c,d)]

ako i samo ako

a+d<b+c.

Lako se može proveriti da su ove definicije nezavisne od izbora predstavnika klasa ekvivalencije.

Svaka klasa ekvivalencije ima jedinstveni član koji ima oblik $(n,0)$ ili $(0, n)$ (ili oba odjednom). Prirodni broj $n$ je identifikovan sa klasom $[(n,0)]$ (i.e.. prirodni brojevi su deo celih brojeva papiranjem $n$ u $[(n,0)]$ ), i klasa $[(0, n)]$ je označena kao $- n$ (ovo pokriva sve preostale klase i daje klasu $[(0,0)]$ drugi put jer je $-0 = 0.$

Tako je, $[(a, b)]$ označeno sa

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{ако је  }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{ако је  }}a<b.\end{cases}}

Ako su prirodni brojevi identifikovani sa odgovarajućim celim brojevima (koristeći gore navedena ugrađivanja), ova konvencija ne stvara nejasnoće.

Ovaj zapis oporavlja poznati prikaz celih brojeva kao ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ .

Neki primeri su:

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}

U teorijskom računarstvu drugi pristupi za konstruisanje celih brojeva koriste se pomoću automatizovanih dokazivača teorema i mehanizama za reformulaciju termina. Celi brojevi su predstavljeni kao algebarski pojmovi izgrađeni pomoću nekoliko osnovnih operacija (npr. zero, succ, pred) i, verovatno, korišćenjem prirodnih brojeva, za koje se pretpostavlja da su već konstruisani (koristeći, recimo, Peanov pristup).

Postoji najmanje deset takvih konstrukcija znakovnih celih brojeva.^[18] Ove konstrukcije se razlikuju na nekoliko načina: broj osnovnih operacija koje se koriste za konstrukciju, broj (obično između 0 i 2) i vrste argumenata koje ove operacije prihvataju; prisustvo ili odsustvo prirodnih brojeva kao argumenata nekih od ovih operacija i činjenica da su te operacije slobodni konstruktori ili ne, tj. da se isti ceo broj može predstaviti koristeći samo jedan ili više algebarskih pojmova.

Reference uredi

^ Evans, Nick (1995). „A-Quantifiers and Scope”. Ur.: Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. str. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.
^ Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Arhivirano iz originala 31. 01. 2010. g. Pristupljeno 2010-09-20.
^ ^a ^b Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. str. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15.
^ ^a ^b Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ ^a ^b LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
^ Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Counting Number”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Whole Number”. MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. „Integer”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Arhivirano iz originala 2010-01-31. g. Pristupljeno 2010-09-20.
^ Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.
^ „Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Arhivirano iz originala 2015-09-06. g. Pristupljeno 2015-04-29. .
^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. str. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15. .
^ Ivorra Castillo: Álgebra
^ Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. str. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15. .
^ ^a ^b ^v Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. str. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. str. 120—134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Arhivirano iz originala 2018-01-26. g. Pristupljeno 2018-01-25.

Literatura uredi

Bell, E.T., Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; Bell, Eric Temple (1965). Men of Mathematics. The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincare. Simon and Schuster. ISBN 0-671-46400-0. Tekst „pages” ignorisan (pomoć))/(Paperback; Bell, E. T. (15. 10. 1986). Men of Mathematics. Simon and Schuster. ISBN 0-671-62818-6. Tekst „pages” ignorisan (pomoć)CS1 održavanje: Format datuma (veza))
Herstein, I.N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), Herstein, I. N. (16. 1. 1991). Topics in Algebra. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-01090-1. Tekst „pages” ignorisan (pomoć)CS1 održavanje: Format datuma (veza).
Mac Lane, Saunders, and Garrett Birkhoff; Algebra, American Mathematical Society; 3rd edition (1999). Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra. American Mathematical Soc. ISBN 0-8218-1646-2. Tekst „pages” ignorisan (pomoć).

Spoljašnje veze uredi

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Integer”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS
Weisstein, Eric W. „Ceo broj”. MathWorld.

[1] Evans, Nick (1995). „A-Quantifiers and Scope”. Ur.: Bach, Emmon W. Quantification in Natural Languages. Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA: Kluwer Academic Publishers. str. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.

[2] Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Arhivirano iz originala 31. 01. 2010. g. Pristupljeno 2010-09-20.

[Cameron1998-3] Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. str. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15.

[edexcelc1-4] Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008

[#1-5] LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.

[6] Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.

[MathWorld_CountingNumber-7] Weisstein, Eric W. „Counting Number”. MathWorld.

[MathWorld_WholeNumber-8] Weisstein, Eric W. „Whole Number”. MathWorld.

[9] Weisstein, Eric W. „Integer”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[10] Miller, Jeff (2010-08-29). „Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Arhivirano iz originala 2010-01-31. g. Pristupljeno 2010-09-20.

[11] Weisstein, Eric W. „Z^*”. MathWorld.

[12] „Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[13] Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Arhivirano iz originala 2015-09-06. g. Pristupljeno 2015-04-29. .

[14] Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. str. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15. .

[15] Ivorra Castillo: Álgebra

[16] Frobisher, Len (1999). Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. str. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Arhivirano iz originala 2016-12-08. g. Pristupljeno 2016-02-15. .

[Campbell-1970-p83-17] v Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic . Appleton-Century-Crofts. str. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.

[18] Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. str. 120—134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Arhivirano iz originala 2018-01-26. g. Pristupljeno 2018-01-25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]