Бета-функција

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за $\Re (x),\Re (y)>0$ интегралом

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.$

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},$

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

${\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}={\frac {mn}{m+n}}{{m+n} \choose {m}},$

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или $x+y$ непозитиван цео број.

Бета-функција је очигледно симетрична, односно $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$. Друга важна својства су тригонометријски облик

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,d\theta$

и алтернативни интегрални облик

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt.$

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x+1,y)+\mathrm {B} (x,y+1)$.

Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева ${\mathbb {R} }$. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације $\mathrm {B} (x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)$

Према дефиницији гама-функције, имамо

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }e^{-v}v^{y-1}\,dv.$

Овај двоструки–поновљени интеграл по ${\mathbb {R} }^{+}$, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по ${\mathbb {R} }^{+}\times {\mathbb {R} }^{+}$, у којем затим уводимо смену $w=u+v$. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}\left(\int _{0}^{w}u^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,$

Коначно, увођењем смене $u=wt$ у унутрашњем интегралу, следи

$\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}w^{x+y-1}\,dw\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).$