Двоструко клатно

У физици и математици, у области динамичких система, двоструко клатно је клатно које има причвршћено друго клатно на његовом крају, формирајући једноставан физички систем који показује богато динамичко понашање са великом осетљивошћу на почетне услове . ^[1] Покрет двоструког клатна управља се низом спојених обичних диференцијалних једначина и хаотично је .

Анализа и тумачење

Можемо приметити неколико варијанти двоструког клатна; два крака која би могла бити једнаке или неједнаке дужине и масе, затим могу бити проста или сложена клатна (другачије се називају и комплексна клатна) као и кретање које може бити у три димензије или ограничено на вертикалну раван. У следећој анализи, краци се сматрају идентичним сложеним клатнима дужине $l$ и масе $m$ , а кретање је ограничено на две димензије.

Двоструко сложено клатно

Кретање двоструког сложеног клатна (из нумеричке интеграције једначина кретања)

Трајекторије двоструког клатна

У сложеном клатну, маса се налази дуж његове дужине. Ако је маса равномерно распоређена, онда је центар масе сваког крака у његовој средини, а крак има момент инерције од $I = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/12ml2$ око те тачке.

Корисно је користити углове између сваког крака и вертикале које су представљене као генерализоване координате које дефинишу конфигурацију система. Тако представљени углови су означени као координате $θ 1$ и $θ 2$ . Положај центра масе сваког штапа може да буде написан на основу ове две координате. Ако се предпоставља да је почетак Декартовог координатног система у тачки суспензије првог клатна, онда се центар масе овог клатна налази у:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}

,

а центар масе другог клатна је на

{\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}

Ово је довољно информација да се напише Лагранжијан.

Лагранжијан

Лагранжијан је

{\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

Први појам је линеарна кинетичка енергија центра масе тела, а други појам представља кинетичку енергију ротације око центра масе сваког штапа. Последњи појам јесте потенцијална енергија тела у једноличном гравитационом пољу. Тачкаста нотација означава временски извод променљиве која се помиње.

Замена горњих координата и преуређење једначине даје

L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

Постоји само једна сачувана количина (енергија) и нема сачуваних импулса. Два генерализована момента могу бити написане као:

{\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}

Ови изрази се могу обрнути да би се добили

{\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}

Ове последње четири једначине су експлицитне формуле за временску еволуцију система с обзиром на његово тренутно стање. Није могуће^{[тражи се извор]} ићи даље и интегрисати ове једначине у израз у затвореном облику, да бисмо добили формуле за $θ 1$ и $θ 2$ као функције времена. Међутим, ову интеграцију је могуће извести на нумерички начин, користећи Рунге Кутта методу или сличне технике.

Хаотично кретање

Графикон времена преокретања клатна као функција почетних услова

Дуга експозиција двоструког клатна које показује хаотично кретање (праћено ЛЕД диодом)

Двоструко клатно је пролази кроз хаотично кретање и показује да је осетљив на зависност од почетних услова. Слика десно показује количину времена које је прошло пре него што се клатно преокренуло, као функцију почетне позиције када је пуштено у мировању. Овде се почетна вредност $θ 1$ креће дуж $x$ -смера од −3,14 до 3,14. Почетна вредност $θ 2$ се креће дуж $y$ -смера, од −3,14 до 3,14. Боја сваког од ових пиксела показује да ли се било које клатно окреће унутар:

${\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (црно)
$10{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (црвено)
$100{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (зелено)
$1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (плаво) или
$10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ (љубичасто).

Три двострука клатна са скоро идентичним почетним условима се разликују током времена показујући хаотичну природу система.

Почетни услови који не доводе до преокрета унутар $10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}$ су исцртане белом бојом.

Граница средишњег белог региона је делимично дефинисана штедњом енергије са следећом кривом:

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.

Унутар региона дефинисаног овом кривом, то је ако

3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,

,

тада је енергетски немогуће да се било које клатно окрене. Изван овог подручја, клатно може окретати, али питање одређивања, односно када ће се окренути је веома сложено. Слично понашање се примећује код двоструког клатна које је састављено од две тачке масе, уместо од два штапа са распоређеном масом. ^[2]

Мањак природне фреквенције побуде довео је до тода да се користи систем двоструког клатна у пројектима сеизмичке отпорности у зградама, где је сама зграда примарно обрнуто клатно, а секундарна маса је повезана да комплетира двоструко клатно.

Види још

Двоструко обрнуто клатно
клатно (механика)
Уџбеници физике из средине 20. века користе израз „двоструко клатно“ да означавају једну клатно окачену за жицу која је заузврат окачена на жицу у облику слова В. Овај тип клатна, који производи Лисажуове криве, сада се назива Блекберново клатно .

Референце

^ Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). „Double Pendulum: An experiment in chaos”. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.
^ Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum^{[мртва веза]}, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

Литература

Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis (2nd изд.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-041342-8.
Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
Northwestern University, Double Pendulum Архивирано на сајту Wayback Machine (3. јун 2007), (Java applet simulation.)
Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).

Спољашње везе

Анимације и објашњења двоструког клатна и физичког двоструког клатна (две квадратне плоче) Мајк Витланд (Унив. Сиднеј)

Интерактивна физика отвореног кода JavaScript симулација са детаљним једначинама двоструког клатна Архивирано на сајту Wayback Machine (2. децембар 2022)
Интерактивна JavaScript симулација двоструког клатна
Симулација физике двоструког клатна са ввв.мипхисицслаб.цом користећи опен соурце ЈаваСцрипт код
Симулација, једначине и објашњење Ротовог клатна
Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions на сајту YouTube у
Симулатор двоструког клатна - Симулатор отвореног кода написан у C++ користећи Qt алат .
Онлине Јава симулатор Архивирано на сајту Wayback Machine (16. август 2022) Имагинарне изложбе .

[1] Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). „Double Pendulum: An experiment in chaos”. American Journal of Physics. 61 (11): 1038. Bibcode:1993AmJPh..61.1038L. doi:10.1119/1.17335.

[2] Alex Small, Sample Final Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum^{[мртва веза]}, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.

[1]

[2]