Декартов правоугли координатни систем

Декартов координанти систем се користи у математици за једнозначно дефинисање положаја тачака у простору. Карактеристика овог система је да су његове координатне осе међусобно нормалне.

Декартов правоугли координантни систем у равни. Четири тачке су маркиране: зелена (2, 3), црвена (-3, 1), плава (-1,5; -2,5) и љубичастом координатни почетак (0, 0).

Декартов правоугли координатни систем је измислио француски математичар и филозоф Рене Декарт, који је, између осталих ствари, покушавао да споји алгебру и Еуклидску геометрију. Овај рад је много утицао на развој аналитичке геометрије, рачуна и картографије.

Идеја о овом систему је развијена 1637. у два Декартова дела. У другом делу свог Метода предавања, Декарт је увео нову идеју одређивања положаја тачке или предмета на површини, користећи две нормалне осе као помагало за мерење. У Геометрији, Декарт је даље објаснио горе споменути концепт.

Историја

Заслуга за откриће Картезијевог координатног система припала је француском математичару Рене Декарту (1596—1650) који га је именовао по својој латинској верзији имена Cartesius. Премда је идеја била утемељена још 1637. године одвојено у два записа Декарта и Фермата, потоњи није објавио своје откриће. Француски свештеник Никол Оресм користио је конструкције сличне Декартовим дуго пре времена Декарта и Фермата. Декарт је увео нову замисао одређивања положаја тачке или објекта у равни употребивши две међусобно нормалне осе као мерила. Откриће Картезијевог координатног система значило је велики напредак у математици повезујући најприје Еуклидску геометрију и алгебру. Кружнице, елипсе и друге криве сада су први пут могле бити описиване „картезијским” алгебарским једначинама помоћу координата тачака криве у равни. Развој картезијевог координатног система значајно је допринео даљњем развоју математике и омогућио Њутну и Лајбницу откриће диференцијалног и интегралног рачуна.

Премда је Декарт дао координатном систему своје име, треба нагласити да су се слични координатни системи користили и пре њега укључивши Абу Рајхан Мухамед ибн Ахмед Бирунија, те Персијску математику X и XI века. Након Декарта развијени су и други координатни системи као што су поларни, сферични, цилиндрични и други.

Декартов координатни систем

Налик земљописној карти где је положај неког места одређен с два податка: земљописном ширином и земљописном дужином, нацртају ли се два међусобно нормална бројевна правца, на пример x и y - уобичајено x хоризонталан, а y вертикалан, који се секу у тачци O и одреде ли се на правцима x и y јединичне тачке E и F, тако да је /OE/=/OF/=1, тиме је дефинисан правоугаони или Картезијев координатни систем у равни.

Декартов координатни систем се може користити у простору (где се користе три координате: x, y и z) и у вишедимензионалним системима.

Декартов координатни систем у равни

Распоред квадранта

Дводимензиони Декартов координатни систем се користи да једнозначно одреди сваку тачку у равни помоћу два броја, који се обично означавају са x и y. Декартов координатни систем је дефинисан са две осе (x-оса или апсциса и y-оса или ордината). Избором мере за сваку осу и означавањем јединица мере дуж оса формира се скала.

Декартов координатни систем са кругом полупречника 2. Једначина круга је x² + y² = 4.

Коришћењем Декартовог координатног система геометријске фигуре (као што су криве) се могу исказати алгебарским једначинама, тј. једначинама које задовољавају координате на тачкама које леже на фигури. На пример, круг полупречника 2 се може приказати формулом x² + y² = 4.

Тродимензионални Декартов координатни систем

Илустрација Декартовог координатног система у 3Д

Картезијев координатни систем се може изабрати и као о једнодимензионални математички простор, где ће такав простор бити одређен једном осом уз избор орентације осе и јединичне дужине, а координата (једна) ће у том случају одређивати положај тачке на бројевном правцу који је придружен координатној оси.

Распоред октанта у 3Д систему

Картезијев дводимензионални координатни систем одређује положај тачке у равни, а картезијев тродимензионални координатни систем одређује положај тачке у простору где је такав координатни систем дефинисан средиштем координатног система 0, и три оијентиране осе (x, y и z) с одговарајућим јединичним дужинама. Координате сваке тачке у таквом систему задате су уређеним скупом од 3 броја, на пример (3, -1, 5) који означавају одговарајуће координате у тродимензионалном математичком простору, где су координате представљене оријентисаним нормалним удаљеностима од неке тачке до одговарајуће равни. У тродимензионалном координатном систему називи оса (апсциса и ордината) нису мандаторне, али ако се употребљавају тада је уобичајено да се трећа, z оса, назвати апликата. На исти начин је уобичајено да се x и y оса поставе у хоризонталну раван, а преостала z оса нормално на њих. Коначно, тродимензионални координатни систем се дили на осам подручја, „октаната”, омеђених са одговарајућим деловим равни. Први октант је онај где су све три полуосе позитивне.

Вишедимензионални Декартов координатни систем

Следећи наведени принцип генерално се могу координате тачке одредити и у n-димензионалном математичком простору где ће се помоћу n одговарајућих координата дефинисати оријентисана удаљеност од тачке до једне од n хиперравни. У четвородимензионалном математичком простору на пример, постојаће четири осе x, y, z и w, а координате сваке тачке у таквом математичком простору биће одређене уређеним скупом од четири броја.

Непосредне примене и својства

Удаљеност између две тачаке у равни

Удаљеност две тачке у равни одређена Картезијевим координатама $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$ је

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

што је вид израза Питагорине теореме исказане у Картезијевом координатном систему.

Средиште дужи

Нека је дужина задата тачкама A и B и њиховим координатама A$(x_{1},y_{1})$ и B$(x_{2},y_{2})$, тада ће средиште дужи имати координате

$x_{p}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ и

$y_{p}={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}$.

Координате тежишта троугла

Нека је троугао ABC смештен у Картезијевом координатном систему и одређен тачкама с координатама A$(x_{1},y_{1})$, B$(x_{2},y_{2})$ и C$(x_{3},y_{3})$, тада ће тежиште троугла имати координате

$x_{t}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}$ и

$y_{t}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}$.

Удаљеност између две тачке у простору

Удаљеност две тачке у простору одређене у тродимензионалном Картезијевом координатном систему $(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $(x_{2},y_{2},z_{2})$ је

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

што се може утврдити применом Питагорине теореме.

Транслација

Скуп тачака у равни, на пример троугла ABC, може се помакнути у равни уз очување међусобних удаљености и оријентације уз додавање утврђеног пара бројева (X,Y) Картезијевим координатама сваке тачке скупа. Ако су координате тачака троугла A(x’, y’), B(x’’, y’’) и C(x’’’, y’’’) тада ће транслирани, одн. помакнути троугао имати координате A’(x’+X, y’+Y), B’(x’’+X, y’’+Y) и C’(x’’’+X, y’’’+Y)

Увећање, смањење

У Картезијевим координатама неки лик може се учинити већим или мањим тако што се све координате свих тачака помноже фактором пропорционалности, нпр. m. Ако су координате тачака које одређују дужину AB, A(x’, y’) и B(x’’, y’’) тада нове координате тачака које одређују дужину A’B’ ће бити A’(mx’, my’) и B’(mx’’, my’’). Ако је m>1 добијени лик ће бити већи, а ако је m<1 добијени лик ће бите мањи од изворног лика.

Декартов координатни систем са кругом радијуса 2, чији центар је у координатном почетку.

Приказ кривих у координатном систему у равни

У Картезијевом координатном систему једноставно се приказују криве у равни (кружница, елипса, парабола и тд.) те различите функције (линеарне, полиномне, експоненцијалне, тригонометријске и тд.).

Приказујући на пример кружницу у Картезијевом координатном систему установљава се да за сваку тачку кружнице вреди да је

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$

те ће према томе једначкина кружнице полупречника 2 (слика десно) бити

$x^{2}+y^{2}=2^{2}\,$

Приказ вектора у Картезијевим координатама

Тачка у простору описаном Картезијевим координатама може дефинисати вектор. Вектор помака, на пример r, може имати хватиште у ишодишту Декартовог координатног система и врх у тачки у простору. Стрелица која показује према врху вектора дефинише смер вектора (смер помака), а ортогоналне пројекције на оси x, y и z одговарајући помак у x, y или z смеру. Дужина самог вектора тада је апсолутна величина помака у простору

$|{r}|={\sqrt {(x)^{2}+(y)^{2}+(z)^{2}}}$,

а такође се може записати да је

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$,

где су i, j и k јединични вектори у смеру x, y и z осе.

Вектор у Картезијевом тродинемзионалном простору одређен је на тај начин у целости уређеним скупом од четири величине (r, x, y, z). Овакав приказ вектора увео је Вилијам Роуан Хамилтон.

Примене

Свака оса може у практичној примени према потреби да има различите мерне јединице (килограме, секунде, вате, итд), што значи да се Картезијевим координатним системом могу приказивати не само криве, лукови и геометријска тела у дводимензионалном, односно тродимензионалном простору, већ да се могу приказивати и све могуће остале промењиве (маса, време, енергија, сила и многе друге). Премда је тешко визуализовати четворо и вишедимензионалне просторе, алгебра Картезијевих координата може се једноставно проширити на четири или више променљивих тако да се могу извршити прорачуни вредности функција и са четири или више променљивих. Таква алгебра дефинише геометрију вишедимензионих простора.

Значај

Картезијеве координате су темељ аналитичке геометрије и осигуравају геометријску интерпретацију за бројна подручја математике као што су линеарна алгебра, комплексна анализа, диференцијална геометрија итд. Један од најпознатијих примера је концепт графичког приказа или графа функције. Картезијске координате су основно оруђе у многим подручјима која се баве геометријом укључујући астрономију, физику, техничке струке, економију и другде.

Литература

• Brennan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59787-6. 
• Smart, James R. (1998). Modern Geometries (5th Ed). Pacific Grove: Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-35188-5. 
• Descartes, René (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Trans. by Paul J. Oscamp (Revised изд.). Indianapolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510. 
• Korn, G. A.; Korn, TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st изд.). New York: McGraw-Hill. стр. 55-79. LCCN 59-14456. OCLC 19959906. 
• Margenau, Henry; Murphy, GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. LCCN 55-10911. 
• Moon, P.; Spencer, DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print изд.). New York: Springer-Verlag. стр. 9—11 (Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2. 
• Morse, Philip M. Herman Feshbach (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52-11515. 
• Sauer, R.; Szabó, I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. LCCN 67-25285. 
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th изд.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 

Спољашње везе

• Cartesian Coordinate System
• Printable Cartesian Coordinates
• MathWorld description of Cartesian coordinates
• „Cartesian coordinates”. PlanetMath. 
• Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
• Coordinates of a point Interactive tool to explore coordinates of a point
• open source JavaScript class for 2D/3D Cartesian coordinate system manipulation