Аналитичка геометрија

Аналитичка геометрија представља изучавање геометрије коришћењем принципа алгебре. Геометријске ликове посматра у дводимензионалном или тродимензионалном Декартовом координатном систему и представља их алгебарским једначинама. Другим речима, она дефинише геометријске облике на нумерички начин, и из такве репрезентације издваја нумеричке информације. Нумерички резултат може бити вектор или геометријски лик. Постоје мишљења да је појавом аналитичке геометрије започета модерна математика.[1][2]

Елипсоид

Сматра се да је Рене Декарт објављивањем своје Геометрије, поставио основе данашњој аналитичкој геометрији. У питању је био један од три додатка његовој Расправи о методи (Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences, 1637) - трактату о научним методама, у коме он, на свега 116 страна, показује примену своје опште методе синтезе на примеру спајања алгебре и геометрије. Уједно, то је једино математичко дело које је објавио за живота.

Иако је пресудно утицала на развој аналитичке геометрије, у Декартовој Геометрији, онаквој каква је, нема неких њених основних елемената, као што су Декартове координате, једначина праве, једначине конусних пресека (иако се једном једначином другог реда означава конусни пресек), а већи део излагања је посвећен теорији алгебарских једначина.

Из сачуваних писама Пјера Ферма може се видети да је он развио идеју аналитичке геометрије пре објављивања Декартовог дела о тој теми. Декарт је предложио представљање криве једначином, изучавање добијене једначине и на тај начин утврђивање особина саме криве, док је Ферма суштински урадио исто проглашавајући једначину „специјалном особином“ криве и изводећи све остале особине посматране криве из ње.

Чињеница да је могуће интерпретирати еуклидску геометрију језиком аналитичке геометрије (што значи да је свака теорема прве, у исто време и теорема друге) је кључни корак у доказу Алфреда Тарског да је еуклидска геометрија конзистента и одлучива.

Координатни системУреди

Основа аналитичке геометрије је кориштење координатног система. Обично се користи Картезијев координатни систем.

Аналитичка геометрија у R2Уреди

Координатни систем и трансформацијеУреди

Са (x, y) означавају се почетне координате, а са (x', y') нове.

Паралелно померањеУреди

Ако x0, y0 су координате координатног почетка у новом систему, онда вреди:

 

РотацијаУреди

Ако се угао ротирања   сматра позитивним (угао којим се позитивна x-оса треба померати да би се подударила с позитивном y-осом) онда су формуле за трансформацију:

 
 

Удаљеност између две тачкеУреди

Удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2) је:

 

Површина троуглаУреди

Ако врхови троугла имају координате (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), њихова површина је

 
 

Да би T било позитивно, морају тачке (x1,y1), (x2, y2) и (x3, y3) следити једна другу у позитивном правцу , тј. супротно смеру кретања казаљки на сату.

Дељење удаљеностиУреди

Ако се удаљеност између тачака (x1, y1) и (x2, y2), дели у односу на m/n координате ће бити:

 

Коефицијент угла правцаУреди

Нека   је угао који правац затвара с x-осом. Ако правац пролази кроз тачке (x1, y1) и (x2,y2) онда је коефицијент угла правца:

 

Једначина правцаУреди

Једначина правца је једначина првог реда по x и y и општа формула је

 

Свака једначина првог реда представља правац.

 

значи правац паралелан с y-осом и

 

працац паралелан с x-осом.

 

је правац кроз координатни почетак.

к-формулаУреди

Правац се може написати и у облику

 

ако је правац паралелан с y-осом, тј. B је различито од нуле. Овдје је к коефицијент угла правца

 

и m y-координате додира правца с y-осом.

ПресекУреди

Параметри пресецања су тачке пресека праваца x-осе и y-осе и пишу се

 

где је a x-координата за тачку пресека правца с x-осом а b је y-координата за тачку пресека правца с y-осом или

 

Стандардни обликУреди

 

је стандардни облик правца.   а m се одређује из

 
 

Znak kvadratnog korena se bira tako da m буде позитивно.

m је дужина нормале из координатног почетка до правца и   је угао те нормале с x-осом.

Удаљеност тачке од правцаУреди

Правац написан у стандардом облику

 

Онда је удаљеност тачке P с координатама (x1,y1):

 

где се знак + бира ако координатни почетак и P леже на различитим странама правца.

Формула правца кроз једну тачкуУреди

Једначина за правац кроз тачку (x1, y1) с угаоним коефицијентом k је

 

Формула правца кроз две тачкеУреди

Једначина за правац кроз тачке (x1, y1) и (x2, y2) је

 

Угао између два правцаУреди

Ако су коефицијенти угла правца k1 и k2 угао између праваца израчунава се као:

 

Криве у равниУреди

Крива у ортогоналном координатном систему даје везу између координата x и y и може се написати као функција.

Једначина криве се може написати у експлицитном облику

 

у имплицитном облику

 

или у параметарском облику

 

У поларним координатама   једначина криве је

 

или

 

ТангентаУреди

Коефицијент угла за тенгенту једног правца у правоугаоним координатима је једнак деривацији функције у тачки додира:

 
 
 

АсимптотеУреди

С асимптотом једне криве мисли се на правац такав да раздаљина између правца и тачке на кривој иде према нули где тачка иде у бесконачност. Ако се асимптота криве y = f(x) пише помоћу једначине y = kx + m, онда се k и m određuju prema:

 

Аналитичка геометрија у R3Уреди

Координатни системУреди

Координатни систем у R3 користи три равни, обично нормалне једна на другу. Тачке пресека се називају x-, y- и z-osа. Ove tri ravni označavaju se po ulaznim osama kao xy-раван, yz-раван и xz-раван.

Правоугаоне координатеУреди

Косинус смераУреди

Координате тачке P' (x, y, z) су нормалне удаљености до yz-, xz- и xy-равни. Ако су   углови између вектора положаја дужине r и оса онда је

 

где

 

су косинуси смера означени са a, b и c за које вреди

 
Угао између два правцаУреди

Ако имамо два правца, OA1 са косинусима смера a1, b1 и c1 i OA2 са косинусима смера a2, b2 и c2, онда вреди за угао   између OA1 и OA2:

 
Ротација координатног системаУреди

С прелазом из правоугаоног координатног система (xyz) у један други (x'y'z') са заједничким координатним почетком али различитим смеровима оса и смеровима косинуса у xyz-осе означене

за x'-оса са  
за y'-оса са  
за z'-оса са  

биће трансформације

 
Удаљеност између две тачкеУреди

Удаљеност d између тачака (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) је

 

Ако су a, b и c косинуси правца за правац између две аочке, онда се израчунавају као

 

Раван у R3Уреди

Ако је (x0, y0, z0) јединични вектор до једне тачке у равни и (A, B, C) је нормалан вектор на раван, може се једначина равнини написати као скалрарни производ нормалног вектора и векторa (x - x0, y - y0, z - z0):

 

што даје генерални облик једначине равни као

 

где је D

 

Једначина првог реда увек представља раван. Косинуси правца за нормалу равни су

 

Знак пред кореном се изабире тако да је

  увек позитиван. На тај начин је нормала усмерена према равниној „позитивној” страни.

Нормални обликУреди

Дељењем са

 

добија се једначина равни у нормалном облику

 

где су   углови које нормала на равац чини с координатним осама а p је удаљеност нормале од координатног почетка па до равни.

Векторски обликУреди

Једначина равни с нормалним вектором n, датом тачком r0 и r као јединичним векторим за произвољну тачку (x, y, z) у равни је

 

Удаљеност тачке од равниУреди

Координате тачке се пишу у нормалном облику равни

 

а удаљеност је онда једнака левој страни једначине са предзнаком '-' ако се тачка и координатни почетак налазе на истој страни равни, иначе са предзнаком '+'.

Пример:

Израчунати удаљеност од тачке (1, -3, 2) до равни

 

Једначина равни у нормалном облику

 

Важни појмови аналитичке геометријеУреди

Многи од ових проблема улазе у домен линеарне алгебре.

РеференцеУреди

  1. ^ Boyer, Carl B. (1944), „Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes”, Mathematics Teacher, 37 (3): 99—105, doi:10.5951/MT.37.3.0099 
  2. ^ Coolidge, J. L. (1948), „The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions”, American Mathematical Monthly, 55 (2): 76—86, JSTOR 2305740, doi:10.2307/2305740 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди