Скаларни производ вектора

алгебарска операција која узима два низа бројева једнаке дужине

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар.[1][2][3] То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V,[4][5] запис ове операције је следећи:

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:[6][7]

Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

и

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

Доказ уреди

Формула :  се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је  , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

 

Пошто је   једнак  , следи:

 

Одакле се налази:

 
 

Одатле се добија коначна формула:

 

Ортогонални вектори уреди

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори   и   узајамно нормални добија се:

 .

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине уреди

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

 

 

 

Коришћење за израчунавање интензитета вектора уреди

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[8]

Пошто је:

 

За специјалан случај када је   једнакост прелази у:  

На основу тога се закључује:
 

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици уреди

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

 

Геометријска интерпретација уреди

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[9][10]

     

Троструки производ уреди

  Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор уреди

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[11] тј.

  •   скаларна пројекција вектора   na vektor  
  •   скаларна пројекција вектора   na vektor  
  •   векторска пројекција вектора   на вектор  
  •   векторска пројекција вектора   на вектор  

Последице скаларног множења уреди

  •   [12]
  •  
  •  
  •   ili je bar jedan od vektora  
  •   ( )

Види још уреди

Референце уреди

  1. ^ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications  (3rd изд.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4. 
  2. ^ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th изд.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6. 
  3. ^ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
  4. ^ Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068. 
  5. ^ Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 
  6. ^ Dudley, Richard M. (1989), Real analysis and probability, The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6 
  7. ^ Dunham, William (2005), The Calculus Gallery, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09565-3 
  8. ^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  9. ^ M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  10. ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
  11. ^ projekcija vektora na vektor
  12. ^ skalami proizvod a b= 0

Литература уреди

Спољашње везе уреди