Скаларни производ вектора

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:

Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

и

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

ДоказУреди

Формула :  се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је  , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

 

Пошто је   једнак  , следи:

 

Одакле се налази:

 
 

Одатле се добија коначна формула:

 

Ортогонални векториУреди

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори   и   узајамно нормални добија се:

 .

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

ОсобинеУреди

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

 

 

 

Коришћење за израчунавање интензитета вектораУреди

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[1]

Пошто је:

 

За специјалан случај када је   једнакост прелази у:  

На основу тога се закључује:
 

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физициУреди

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

 

Геометријска интерпретацијаУреди

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[2][3]

     

Троструки производУреди

  Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на векторУреди

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[4] тј.

  •   скаларна пројекција вектора   na vektor  
  •   скаларна пројекција вектора   na vektor  
  •   векторска пројекција вектора   на вектор  
  •   векторска пројекција вектора   на вектор  

Последице скаларног множењаУреди

  •   [5]
  •  
  •  
  •   ili je bar jedan od vektora  
  •   ( )

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. ^ M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  3. ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
  4. ^ projekcija vektora na vektor
  5. ^ skalami proizvod a b= 0

ЛитератураУреди

  • A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
  • M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  • Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  • Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд

Спољашње везеУреди