Скаларни производ вектора
Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.
Скаларни производ вектора и се дефинише на следећи начин:
Притом су и интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:
- и
Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:
ДоказУреди
Формула : се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:
Ако је , угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:
Пошто је једнак , следи:
Одакле се налази:
Одатле се добија коначна формула:
Ортогонални векториУреди
Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори и узајамно нормални добија се:
- .
Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.
ОсобинеУреди
Скаларни производ вектора поседује следеће особине:
- дистрибутиван је у односу на сабирање
- у општем случају није асоцијативан
- за њега важи следеће:
Коришћење за израчунавање интензитета вектораУреди
Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[1]
Пошто је:
За специјалан случај када је једнакост прелази у:
- На основу тога се закључује:
Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.
Примена у физициУреди
Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:
Геометријска интерпретацијаУреди
Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[2][3]
Троструки производУреди
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Пројекција вектора на векторУреди
Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[4] тј.
- скаларна пројекција вектора na vektor
- скаларна пројекција вектора na vektor
- векторска пројекција вектора на вектор
- векторска пројекција вектора на вектор
Последице скаларног множењаУреди
- [5]
- ili je bar jedan od vektora
- ( )
Види јошУреди
РеференцеУреди
- ^ Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14.
- ^ projekcija vektora na vektor
- ^ skalami proizvod a b= 0
ЛитератураУреди
- A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14.
- M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
Спољашње везеУреди
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.
- Explanation of dot product including with complex vectors
- "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.