Скаларни производ вектора

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар. То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V, запис ове операције је следећи:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0$

При чему су u, v и w вектори из V а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ се дефинише на следећи начин:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}$

Притом су $|{\vec {x}}|$ и $|{\vec {y}}|$ интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ и ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})$

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

${\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

Доказ

Формула :${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)$ се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је $\gamma$, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Пошто је ${\vec {c}}$ једнак ${\vec {b}}-{\vec {a}}$, следи:

$|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Одакле се налази:

$\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

${\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Одатле се добија коначна формула:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.$

Ортогонални вектори

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ узајамно нормални добија се:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

• комутативност

${{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$

• дистрибутиван је у односу на сабирање

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

• у општем случају није асоцијативан
• за њега важи следеће:

$(\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Коришћење за израчунавање интензитета вектора

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.

Пошто је:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.$

За специјалан случај када је ${\vec {x}}={\vec {y}}$ једнакост прелази у: ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}$

На основу тога се закључује:

$|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.$

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

$A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha$

Геометријска интерпретација

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).$

Троструки производ

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор тј.

• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}$ скаларна пројекција вектора ${\overrightarrow {a}}$ na vektor ${\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}$ скаларна пројекција вектора ${\overrightarrow {b}}$ na vektor ${\overrightarrow {a}}$
• $({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}$ векторска пројекција вектора ${\overrightarrow {a}}$ на вектор ${\overrightarrow {b}}$
• $({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}$ векторска пројекција вектора ${\overrightarrow {b}}$ на вектор ${\overrightarrow {a}}$

Последице скаларног множења

• ${\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}$
• ${\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0$
• ${\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}$ ili je bar jedan od vektora ${\overrightarrow {0}}$
• $cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}$ ($0<\omega <\pi$)

Види још

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ вектора
• Мешовити производ вектора

Литература

• A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. 
• M.R. Spiegel, D.; Lipschutz; Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
• Lipschutz, M.; Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
• Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld. 
• Explanation of dot product including with complex vectors
• "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project, 2007.