Отворите главни мени

Унутрашњи производ простора је поопштење скаларног производа вектора, чији резултат је скалар.

Дефиниција
Нека је V векторски простор. Унутрашњи производ над пољем реалних бројева (ℝ) је пресликавање
са следећим особинама
  1. (позитивност)
  2. (нулта дужина)
  3. (линеарност)
  4. (симетрија)

За унутрашњи производ истог векторског простора над пољем комплексних бројева (ℂ) особина симетрије (четврта) је особина конјуговане симетрије

4. (конјугована симетрија)

Садржај

НормаУреди

Норма (интензитет, дужина) вектора дефинише се са

 
Став 1.
Норма задовољава следеће особине>
  1.  
  2.  

Доказ: Имамо да је

 
 
 
 
Став 2.
 

Доказ: Можемо претпоставити да су оба вектора различита од нуле, јер је у супротном неједнакост очигледна. Даље, користимо дефиниционе особине

  - позитивност
  - линеарност
  - симетрија
 

Отуда

 

или

 

што је и требало доказати.♦

Приметимо да је

 

ако и само ако је

 

тј. ако је

 

Према томе, u и v морају бити на истој правој која садржи исходиште.

Последица 3.

У ставу 2. стоји једнакост, тј.

 

ако и само ако су u и v на истој правој која пролази исходиштем.

Следећи став је поопштење Питагорине теореме.

Став 4.
За произвољне векторе u и v датог векторског простора важи
 
Биће
 
ако и само ако је
 

Доказ:

 
 
 
 

Према томе, доказано је

 

У истом доказу, ако је <u, v> = 0, онда је

 

Обратно, ако имамо наведену једнакост, из истог дјела доказа видимо да је унутрашњи производ нула.♦

На примјер, дати су вектори

 

Показаћемо да за њих важи једнакост става 4. Наиме

  - нормалност
 

Са друге стране, из u + v = (1, 8, 1) следи

 

Према томе, тачно је

 

ПримериУреди

Скаларни производУреди

Скаларни производ вектора u и v из ℝn је скалар (реалан) број

 

Норма, дужина вектора v је ненегативан број

 

На пример, u = (1, -2, 3) и v = (2, 1, -1). Тада је простор 3-димензионалан (n = 3), па имамо

 
 

Нормалност се може дефинисати за општи случај димензије n = 2, 3, ..., због неједнакости

 

тј.

 

Наиме, за векторе не нулте дужине, имамо

 

па можемо дефинисати косинус угла између њих

 

Кажемо да су два вектора нормална када је овај косинус нула, прецизније

 

Нормалност је веома практична.

На пример, треба наћи тачку P на правој y = 2x + 1 која је најближа тачки Т(4, 2) ван те праве.

 

Прво дефинишемо векторе u = (t, 2t + 1) чији врхови су тачке на датој правој, рецимо u1 = (0, 1) и u2 = (1, 3). Вектор u0 = u2 - u1 = (1, 2) паралелан је датој правој. Затим дефинишемо вектор v = (4, 2) чији врх је дата тачка Т. Ако је параметар t такав да је u најближа тачка тачки Т, дакле да је то тражена тачка P, онда је вектор PT = v - u = (4 - t, 1 - 2t) нормалан на дату праву. Према томе, рјешење задатка је рјешење једначине

 

Даље лако налазимо, редом

 
 
 

Нашли смо тачку P на правој y = 2x + 1 која је најближа тачки Т(4, 2) ван те праве.

У истом примеру, друго питање је: колика је удаљеност од дате праве до дате тачке?

Одговор је: то је дужина вектора PT = v - u, гдје сада за врх вектора u треба узети тачку P, тј.

 
 
 
 

ИнтегралУреди

Нека су дати затворени интервал I = [a, b], при чему је a < b, и векторски простор V који чини скуп интеграбилних функција на том интервалу.

Став
 

је унутрашњи производ на простору V.

Доказ: Нека су α и β реални бројеви, а f, g и h вектори из V. Тада:

1.  

јер

 

2.  

тј. функција f(t) једнака је нули у свакој тачки датог интервала.

3.  

 
 

4.  ♦.

Норма овог простора је

 
Примјер 1.

Нека је a = 0 и b = 1, и нека су дати полиноми

 

Тада имамо

 
 
 
 
 

За њихове норме имамо

 
 
 
 
 
Примјер 2.

На истом интервалу I = [0, 1] дате су тригонометријске функције

 

Тада је

 
 

Према томе, ове фукције су нормалне на датом интервалу.♦

Примјер 3.

На интервалу [0, 1] дат је полином f(t) = t. Наћи полином облика g(t) = kt + n нормалан на дати.

Рјешење: Тражимо бројеве k и n такве да је

 
 
 

Према томе, 2k + 3n = 0. Па можемо узети, рецимо g(t) = 3t - 2.♦

Спољашње везеУреди