Елипса

За стилску фигуру, погледајте Елипса (књижевност)

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостатак) је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефинисати као геометријско место тачака чији је збир растојања једне тачке на елипси од две фиксиране тачке увек једнак (види слику). Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.

збир растојања једне тачке на елипси (у овом случају тачке X) од два фокуса елипсе је увек једнак (тј. растојање означено плавом бојом је константно за било коју тачку на елипси)

Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра, и називају се осе елипсе. Осе елипсе су две праве које садрже њене пречнике. Прва, већа, пролази кроз обе фокусне тачке, а друга, мања пролази кроз њен центар, и нормална је на прву. Половина веће полуосе се назива велика полуоса, и у астрономији се користи као један од орбиталних параметара који описује путању неког небеског тела.

Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.

Дефиниције

Аналитичка дефиниција

Елипса се добија као пресек конуса и равни

Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:

$f(x,y)=\alpha _{11}x^{2}+2\alpha _{12}xy+\alpha _{22}y^{2}+2\alpha _{13}x+2\alpha _{23}y+\alpha _{33}=0\,$ (општа једначина криве другог реда)

Која задовољава следеће услове:

1. 
   $\Delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{13}&\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{vmatrix}}\neq 0$
   
   
2. 
   $\delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}\\\end{vmatrix}}>0$
   
   
3. За реалну елипсу: $T\cdot \Delta =(\alpha _{11}+\alpha _{22})\cdot \Delta <0$
   За имагинарну елипсу (празан скуп): $T\cdot \Delta >0$

Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:

$\alpha _{11}x^{2}+\alpha _{22}y^{2}-\alpha _{33}=0\,$

Што се може записати и као

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.

Фокус и директриса

Елипса је геометријско место тачака M у равни чији је однос удаљености до једне фиксне тачке F и до једне фиксне праве d константан број e ∈ (0,1). Та фиксна тачка се назива фокус, или жижа елипсе, фиксна права директриса, или водиља, а константан број, количник назива се (нумерички) ексцентрицитет.

Доказ. На датој слици, ставимо да је |AA'| = 2a, па је |A'O| = |OA| = a, а због |A'F| = |A'O| + |OF| и |A'G| = |A'O| + |OG| добијамо |A'O| + |OF| = e(|A'O| + |OG|), тј. a + |OF| = e(|OG| + a). На сличан начин слиједи и једнакост a – |OF| = e(|OG| – a). Из добијене две једнакости имамо: |OF| = ae, |OG| = a/e. Према томе, у овако изабраном координатном систему, жижа је тачка F(ae, 0), а директриса је права d: x = a/e. Тиме је доказ завршен.

Због симетрије, постоје још једна жижа F ′(-ae, 0) и друга директриса d: x = -a/e. Број c = ae, који представља растојање жиже од центра елипсе, назива се линеарни ексцентрицитет, док је дужи назив за број e = c/a нумерички ексентрицитет.

Збир полупречника

Збир растојања ма које тачке елипсе од њених жижа, фокуса F и F ′ је константан и износи 2а.

Доказ. Ако је M(x,y) произвољна тачка елипсе, N подножје нормале из те тачке на директрису d, а N′ подножје нормале на директрису d′, онда је

${\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},$

гдје је број e ∈ (0,1) ексцентрицитет елипсе. Отуда је

${\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})$.

Са друге стране, збир у загради десно је растојање између директриса, које износи e⋅2⋅(a/e), зато је

${\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,$

што је и требало доказати.

Површина

Површина елипсе је:

$P=ab\pi$

где су a и b полупречници елипсе, а пи = 3,14159... математичка константа. До формуле за површину се дошло израчунавањем помоћу интеграла.

Доказ. Четвртина површине елипсе у канонском облику је у првом квадранту. Према томе површина читаве елипсе је

$P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]$

$=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt$

$=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t$

$=4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .$

Тиме је доказ завршен.

Ексцентрицитет

Ексцентрицитет је константа карактеристична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:

$e={\frac {c}{a}}$

Обим

Обим елипсе се може представити на разне начине:

Бесконачни редови:

$O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,$

Што је исто што и:

$O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }$

Добру апроксимацију ове вредности је направио Рамануџан:

$O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,$

Која се такође може записати као:

$O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,$

У специјалном случају, када је мања оса дупло мања од веће осе, важи:

$O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,$

Елипсоид

У тродимензионалним координатном систему облик елипсе се зове елипсоид. У геометрији елипсоид је тело које је у односу на лопту благо спљоштено.

Види још

• Суперелипса

Спољашње везе

• Елипса на mathworld.wolfram.com (језик: енглески)
• Аполонијево извођење елипсе (језик: енглески)
• Конструкција елипсе и хиперболе - два интерактивна аплета која показују како исцртати елипсу и хиперболу (језик: енглески)
• Дефиниција и особине елипсе са интерактивним визуелизацијама (језик: енглески)
• Пол и полара криве - Хармонијско конјуговање