Каталанова хипотеза

Каталанова хипотеза (или Михаилескова теорема) је претпоставка у теорији бројева који је претпоставио математичар Ежен Карлс Каталан 1844. године и доказао ју је 2002. године Преда Михаилеску.

2³ и 3² су два степена природних бројева, чије су вредности 8 и 9, узастопне. Теорема тврди да је ово једини случај два узастопна степена. То значи, да је једино решење у природним бројевима

x^a − y^b = 1

за a, b > 1, x, y > 0 је x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Историја

Историја проблема датира још до Герсонидеса, који је доказао посебан случај у нагађању у 1343. где је (x, y) било ограничено паровима (2, 3) или (3, 2).

Године 1976. Роберт Тијдеман примењује Бејкер методу у теорији трансценденције да се успостави граница a,b и користе постојећи резултате скока x,y у смислу a,b давањем ефикасне горње границе за x,y ,a,b. Мишел Ленгвин израчунава вредност екс екп екп екп 730 за границу.^[1] Ово решење каталонске хипотезе важи за све, али постоји коначан број случајева. Међутим, за коначан обрачун потребно је завршити доказ теореме али је потребно превише времена да се обави.

Каталанову хипотезу је доказао Преда Михаилеску у априлу 2002. године, тако да је сада понекад називају Михаилескова теорема. Доказ је објављен у Часопис Крепл Журнал, 2004. године. То чини велико коришћење теорије циклотомичном поља и Галуалови модула. Излагање доказа дао је Јури Билу у Семинару Бурбаки .

Генерализација

То је претпоставка да за сваки природан број n су парови савршених степена коначних разлика n, види листу.

(За мање бројеве (>0), види A103953, и види link=On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences A076427 за бројевна решења (укључујући 0))

n	бројеви k су такви да су k и k + n савршени степени	n	бројеви k су такви да су k и k + n савршени степени
1	0, 8	33	16, 256
2	25	34	Ништа
3	1, 125	35	1, 289, 1296
4	0, 4, 32, 121	36	0, 64, 1728
5	4, 27	37	27, 324, 14348907
6	Ништа	38	1331
7	1, 9, 25, 121, 32761	39	25, 361, 961, 10609
8	0, 1, 8, 97336	40	9, 81, 216, 2704
9	0, 16, 27, 216, 64000	41	8, 128, 400
10	2187	42	Ништа
11	16, 25, 3125, 3364	43	441
12	4, 2197	44	81, 100, 125
13	36, 243, 4900	45	4, 36, 484, 9216
14	Ништа	46	243
15	1, 49, 1295029	47	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	0, 9, 16, 128	48	1, 16, 121, 21904
17	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	0, 32, 576, 274576
18	9, 225, 343	50	Ништа
19	8, 81, 125, 324, 503284356	51	49, 625
20	16, 196	52	144
21	4, 100	53	676, 24336
22	27, 2187	54	27, 289
23	4, 9, 121, 2025	55	9, 729, 175561
24	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	8, 25, 169, 5776
25	0, 100, 144	57	64, 343, 784
26	1, 42849, 6436343	58	Ништа
27	0, 9, 169, 216	59	841
28	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4, 196, 2515396, 2535525316
29	196	61	64, 900
30	6859	62	Ништа
31	1, 225	63	1, 81, 961, 183250369
32	0, 4, 32, 49, 7744	64	0, 36, 64, 225, 512

Пилајсова хипотеза

Пилајсова хипотеза односи на општу разлику од савршених степена (секвенца А001597 у ОЕИС):тај отворен проблем је првобитно предложио С. С. Пилај, који је наслутио да празнине у низу савршених степена имају тенденцију бесконачности. Ово је еквивалентно рекавши да се сваки цео позитиван број појављује само коначно много пута као разлика савршених остепена: генерално, године 1931. Пилај је претпоставио да за фиксне целе позитивне бројева A, B, C важи једнакост $Ax^{n}-By^{m}=C$ и дошао до решења (x,y,m,n) са (m,n) ≠ (2,2). Пилај је доказао да је разлика $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ за било који λ мања од 1, равномерно m и n.^[2]

Општа хипотеза се може пратити и преко ABC хипотезе^[2]^[3]

Пал Ердеш је претпоставио да је нека позитивна константа c таква ако је d разлика савршеног степена n, тада d>n^c важи за велике n.

Види још

Референце

^ Ribenboim, Paulo (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem.
^ ^а ^б Narkiewicz 2011
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd изд.), Springer-Verlag, стр. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

Литература

Catalan, Eugene. (1844): Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.
Mihailescu, P. (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalans conjecture”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelles Journal). 572. doi:10.1515/crll.2004.048.
Ribenboim, Paulo (1994). Catalan's Conjecture. Academic Press. ISBN 978-0-12-587170-9.
Robert Tijdeman (1976). "On the equation of Catalan". Acta Arith. 29 (2): 197—209. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ).
Metsänkylä, Tauno (2003). „Catalan's Conjecture: Another old Diophantine problem solved”. Bulletin of the American Mathematical Society. 41: 43—57. doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5.
Yuri Bilu (2004). "Catalan's conjecture (after Mihăilescu)". Astérisque . 294. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ): vii, 1–26.

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Catalan's conjecture”. MathWorld.
Ivars Peterson's MathTrek Архивирано на сајту Wayback Machine (22. јануар 2013)
On difference of perfect powers
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture

[1] Ribenboim, Paulo (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem.

[rnt-2] а ^б Narkiewicz 2011

[3] Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd изд.), Springer-Verlag, стр. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]