Клебш-Горданови коефицијенти

Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком или користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.

ДефиницијаУреди

Нека Лијева група   има две иредуцибилне репрезентације   и  . Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су   и  . Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте  , које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

 

Вектори  , где   образују базу репрезентације од  . У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

 

Тако дани коефицијенти   називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе  .

Оператори угаоних моменатаУреди

Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:

 

а   је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор:  

  је пример Казимировога оператора.
 

Стања угаоних моменатаУреди

Из горњих дефиниција добија се да   комутира са  ,   and  :

 

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се   и   онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:

 

С друге стране оператори   и   мењају   вредности:

 
 

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:

 

Тензорски производУреди

Нека   представља  -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

 

Други простор   нека је  -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

 

Тензорски производ тих простора   је   димензионалан простор са базом:

 

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:

 

и

 

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:

 

Угаони моменти задовољавају комутационе релације:

  па следи:
 

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:

 

Укупан број својствених стања једнак је димензији  

 

Формална дефиниција коефицијенатаУреди

Стања укупнога угаонога момента могу се развити:

 

а коефицијенти   тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор   онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је  

РекурзијеУреди

Уз помоћ оператора   добијамо:

 

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:

 

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:

 

Узмемо ли   добијамо:

 

ОртогоналностУреди

 
 

Експлицитан приказ коефицијенатаУреди

 

 

 

 

Специјални случајевиУреди

За   Клебш-Горданови коефицијенти су:

 

За   и   имамо

 

За   и   вреди:

 

За   вреди:

 

За   имамо:

 

СиметријеУреди

 

Веза са 3-jm симболима и D-матрицамаУреди

Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:

 

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:

 

ЛитератураУреди