Клебш-Горданови коефицијенти

Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком или користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.

Дефиниција

уреди

Нека Лијева група   има две иредуцибилне репрезентације   и  . Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су   и  . Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте  , које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

 

Вектори  , где   образују базу репрезентације од  . У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

 

Тако дани коефицијенти   називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе  .

Оператори угаоних момената

уреди

Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:

 

а   је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор:  

  је пример Казимировога оператора.
 

Стања угаоних момената

уреди

Из горњих дефиниција добија се да   комутира са  ,   and  :

 

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се   и   онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:

 

С друге стране оператори   и   мењају   вредности:

 
 

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:

 

Тензорски производ

уреди

Нека   представља  -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

 

Други простор   нека је  -димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:

 

Тензорски производ тих простора   је   димензионалан простор са базом:

 

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:

 

и

 

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:

 

Угаони моменти задовољавају комутационе релације:

  па следи:
 

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:

 

Укупан број својствених стања једнак је димензији  

 

Формална дефиниција коефицијената

уреди

Стања укупнога угаонога момента могу се развити:

 

а коефицијенти   тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор   онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је  

Рекурзије

уреди

Уз помоћ оператора   добијамо:

 

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:

 

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:

 

Узмемо ли   добијамо:

 

Ортогоналност

уреди
 
 

Експлицитан приказ коефицијената

уреди

 

 

 

 

Специјални случајеви

уреди

За   Клебш-Горданови коефицијенти су:

 

За   и   имамо

 

За   и   вреди:

 

За   вреди:

 

За   имамо:

 

Симетрије

уреди
 

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама

уреди

Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:

 

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:

 

Литература

уреди
  • 3ј, 6ј и 9ј симболи
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0. 
  • Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton. . New Jersey: Princeton University Press. 1957. ISBN 978-0-691-07912-7. 
  • Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.