Вигнерова D матрица

Вигнерова D матрица представља матрицу иредуцибилних репрезентација група SU(2) и SO(3). Вигнерова D матрица је квадратна матрица оператора ротација димензија са општим елементима:

Матрица је добила име по Еугену Вигнеру, који ју је први увео 1927. године.

Дефиниција D матрице Уреди

Генератори Лијевих алгебри SU(2) и SO(3) означимо са  ,  ,  . За њих вреде следеће комутационе релације:

 

Оператор

 

представља Казимиров оператор од SU(2) (или SO(3) ). Оператор ротација може да се прикаже као:

 

где су   и  Ојлерови углови. Вигнерова D матрица је квадратна матрица димензија   са општим елементима:

 

При томе мала Вигнерова d- матрица означена је са:

 

Мала Вигнерова d- матрица Уреди

Мала Вигнерова d- матрица може да се представи као:

 

Матрични елементи мале d- матрице повезани су са Јакобијевим полиномима   са ненегативним   и  . Нека је

 

Онда је:

 

Онда уз услов   релација је:

 

где су  

Својства Вигнерове D матрице Уреди

Следећих шест оператора:

 
 

задовољава комутационе релације:

 

Уз то два низа узајамно комутирају:

 

Квадрати тих оператора су једнаки:

 

Експлицитни облик је:

 

Дејство оператора   на први индекс D-матрице је:

 
 

С друге стране дејство   оператора на други индекс D-матрице је:

 
 

Коначно добија се:

 

Релација ортогоналности Уреди

 

Кронекеров производ матрица Уреди

Кронекеров производ D матрица

 

чини редуцибилну матричну репрезентацију специјалних група SO(3) и SU(2). Редукцијом на иредуцибилне компоненте добија се:

 

Симболи   су Клебш-Горданови коефицијенти.

Веза са сферним хармоницима и Лежандровим полиномима Уреди

За целобројне вредности   и за други индекс једнак нули матрични елементи D-матрице пропорционални су сферним хармоницима и придруженим Лежандровим полиномима:

 

Одатле се добија следећа релација за мале d-матрице:

 

Ако су оба индекса једнака нули тада су матрични елементи пропрционални Лежандровом полиному:

 

Табела мале Вигнерове d- матрице Уреди

За j=1/2

  •  
  •  

За j=1

  •  
  •  
  •  
  •  


За j=3/2

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

За j=2

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Литература Уреди

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0486612720. 
  • Wigner E. P., Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, New York: Academic Press (1959)
  • Messiah, Albert, Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.). . New York: North Holland Publishing. 1981. ISBN 978-0-7204-0045-8.