Јакобијеви полиноми

Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:

Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.

Диференцијална једначина

уреди

Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:

 

Дефиниција

уреди

Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:

 

где   представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:

 

Родригезова формула

уреди

Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:

 

Генерирајућа функција

уреди

Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:

 

где

 

Рекурзија

уреди

Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:

 

Неколико првих полинома је:

 
 
 

Израз за реални аргумент

уреди

За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:

 

где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n

 

У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:

 

Ортогоналност

уреди

Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:

 

Тежинска функција је била:

 .

Они нису ортонормални, а за нормализацију:

 

Симетрија

уреди

Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:

 

па је

 

Асимптотски изрази

уреди

За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност Pn(α,β) за велики n дан је:

 

где

 

Асимптоте близу ±1 дане су са:

 

Веза са Вигнеровом d-матрицом

уреди

Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:

 

Литература

уреди