Гегенбауерови полиноми

Гегенбауерови полиноми су ортогонални полиноми , који представљају решење Гегенбауерове диференцијалне једначине:

Гегенбауерови полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома, а Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми су специјални случај Гегенбауерових полинома. Добили су име по аустријском математичару Леополду Гегенбауеру.

Својства

уреди

Гегенбауерови полиноми су специјални случај Јакобијевих полинома:

 

Могу да се прикажу помоћу хипергеометријске функције:

 

односно развојем се добија:

 

Гегенбауерови полиноми могу да се прикажу и помоћу Родригезове формуле:

 

Генерирајућа функција

уреди

Функција генератриса Гегенбауерових полинома је:

 

Рекурзија

уреди

Гегенбауерови полиноми задовољавају следећу рекурзију:

 

Ортонормираност

уреди

За фиксни α полиноми су ортогонални на [−1, 1] са тежинском функцијом:

 

Добија се за n ≠ m,

 

а за исти n:

 

Литература

уреди