Придружени Лежандрови полиноми

Придружени Лежандрови полиноми представљају решења опште Лежандрове диференцијалне једначине:

Дефиниција за позитивне параметре ℓ и m

уреди

Придружени Лежандрови полиноми   повезани са обичним Лежандровим полиномима (m ≥ 0)

 

За обичне Лежандрове полиноме вреди:

 

Члан (−1)m у том изразу познат је као Кондон-Шотлијева фаза, коју неки аутори испуштају. Родригезовом формулом добија се:

 

па се онда придружени Лежандров полином може приказати као:

 

Лежандрови полиноми могу да се прикажу и као специјални случај хипергеометријске функције:

 

Ортогоналност

уреди

Претпостављајући  , они задовољавају услов ортогоналности за фиксни m:

 

При томе је   Кронекерова делта функција.

Осим тога они задовољавају релацију ортогоналности за фиксни ℓ:

 

Првих неколико придружених Лежандрових полинома

уреди
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рекурзивне релације

уреди
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Параметризација помоћу углова

уреди

Придружени Лежандрови полиноми могу да се параметризирају помоћу углова, тј.  :

 

Онда добијамо да је првих неколико полинома:

 

За фиксниm,   су ортогоналне, параметризиране по θ преко  , са тежином  :

 

Такође за фиксни ℓ:

 

  су решења од:

 

За   горња једначина има несингуларна решења само за   за целобројни  , а решења су пропорционална  .

Сферни хармоници

уреди

Придружени Лежандрови полиноми сусрећу се у многим проблемима физике са сферном симетријом. Једначина   у случају сферне симетрије може да се напише најпре уз помоћ лапласијана у сферним координатама:

 

Парцијална диференцијална једначина   постаје:

 

Решава се сепарацијом варијабли по θ и φ, тако да је φ део облика   или   за целобројне m≥0, а онда преостаје једначина по θ:

 

за коју су решења придружени Лежандрови полиноми   са   и  .

На тај начин добили смо да су једначина:

 

има несингуларна решења само за  , а та решења пропорционална су:

 

и

 

За сваки   постоји   функција за различите m и они су ортогонални. Решења се обично пишу у облику:

 

При томе та решења   називају се сферни хармоници.

Литература

уреди