Pridruženi Ležandrovi polinomi

Pridruženi Ležandrovi polinomi $P_{\ell }^{m}(x)$ predstavljaju rešenja opšte Ležandrove diferencijalne jednačine:

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

Definicija za pozitivne parametre ℓ i m

Pridruženi Ležandrovi polinomi $P_{\ell }^{m}(x)$ povezani sa običnim Ležandrovim polinomima (m ≥ 0)

$P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,$

Za obične Ležandrove polinome vredi:

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$

Član (−1)^m u tom izrazu poznat je kao Kondon-Šotlijeva faza, koju neki autori ispuštaju. Rodrigezovom formulom dobija se:

$P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],$

pa se onda pridruženi Ležandrov polinom može prikazati kao:

$P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.$

Ležandrovi polinomi mogu da se prikažu i kao specijalni slučaj hipergeometrijske funkcije:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})$

Ortogonalnost

Pretpostavljajući $0\leq m\leq \ell$, oni zadovoljavaju uslov ortogonalnosti za fiksni m:

$\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$

Pri tome je $\delta _{k,\ell }$ Kronekerova delta funkcija.

Osim toga oni zadovoljavaju relaciju ortogonalnosti za fiksni ℓ:

$\int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}$

Prvih nekoliko pridruženih Ležandrovih polinoma

$P_{0}^{0}(x)=1$

$P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)$

$P_{1}^{0}(x)=x$

$P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)$

$P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)$

$P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$

$P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$

$P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)$

$P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)$

$P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)$

$P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$

$P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})$

$P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}$

Rekurzivne relacije

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)-P_{\ell +1}^{m+1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

${\sqrt {1-x^{2}}}{P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]$

$(1-x^{2}){P_{\ell }^{m}}'(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{l-1}^{m}(x)-l(l-m+1)P_{l+1}^{m}(x)\right]$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)$

$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)$

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$

Parametrizacija pomoću uglova

Pridruženi Ležandrovi polinomi mogu da se parametriziraju pomoću uglova, tj. $x=\cos \theta$:

$P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,$

Onda dobijamo da je prvih nekoliko polinoma:

${\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]\end{aligned}}$

Za fiksnim, $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ su ortogonalne, parametrizirane po θ preko $[0,\pi ]$, sa težinom $\sin \theta$:

$\int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$

Takođe za fiksni ℓ:

$\int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}$

$P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ su rešenja od:

${\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,$

Za $m\geq 0$ gornja jednačina ima nesingularna rešenja samo za $\lambda =\ell (\ell +1)\,$ za celobrojni $\ell \geq m$, a rešenja su proporcionalna $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$.

Sferni harmonici

Pridruženi Ležandrovi polinomi susreću se u mnogim problemima fizike sa sfernom simetrijom. Jednačina $\nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0$ u slučaju sferne simetrije može da se napiše najpre uz pomoć laplasijana u sfernim koordinatama:

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.$

Parcijalna diferencijalna jednačina $\nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0$ postaje:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0$

Rešava se separacijom varijabli po θ i φ, tako da je φ deo oblika $\sin(m\phi )$ ili $\cos(m\phi )$ za celobrojne m≥0, a onda preostaje jednačina po θ:

${\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,$

za koju su rešenja pridruženi Ležandrovi polinomi $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ sa $\ell {\geq }m$ i $\lambda =\ell (\ell +1)$.

Na taj način dobili smo da su jednačina:

$\nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0$

ima nesingularna rešenja samo za $\lambda =\ell (\ell +1)$, a ta rešenja proporcionalna su:

$P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell$

i

$P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .$

Za svaki $\ell$ postoji $2\ell +1$ funkcija za različite m i oni su ortogonalni. Rešenja se obično pišu u obliku:

$Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .$

Pri tome ta rešenja $Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$ nazivaju se sferni harmonici.

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0
• Pridruženi Ležandrovi polinomi