Корисник:DD0814/песак

Рационална тригонометрија

Рационална тригонометрија је предложена реформулација метричких планарних и чврстих геометрија (која укључује тригонометрију) од стране канадског математичара Нормана Ј. Вилдбергера, тренутно професора математике на Универзитету Нови Јужни Велс. Његове идеје изнете су у његовој књизи из 2005. године Божанске пропорције: рационална тригонометрија универзалној геометрији. Према Новом Научнику (лист New Scientis) , део његове мотивације за алтернативу традиционалној тригонометрији био је да се избегну неки проблеми које он тврди да се јављају када се бесконачне серије користе у математици. Рационална тригонометрија избегава директну употребу трансценденталних  функција као што су синус и косинус  тако што замењује њихове  квадратне  еквиваленте. Вилдбергер инспирише математичаре који су претходили бесконачној теорији сета Георг Цантор-а, као што су Гаусс и Еуклид, за које тврди да су далеко више опрезни у коришћењу бесконачних скупова од модерних математичара. [2] Математичка литература.

Приступ

Рационална тригонометрија прати приступ заснован на методама линеарне алгебре на теме геометрије основне школе. Удаљеност се замењује квадратном вредношћу (квадрантом), а 'угао' се замењује квадратном вредношћу уобичајеног синусног односа (ширење) повезаног са било којим углом између две линије. (Комплемент Спреад, познат као криж, такође одговара скалираном облику унутрашњег производа између сегмената линије узетих као вектори). Три главна закона у тригонометрији - Питагорина теорема, синусни закон и косинусни закон - дати су у рационалној (квадратно еквивалентној) форми, а увећани су са два додатна закона - троструком квадрацијом (која повезује квадране три колинеарне тачке). и формулу троструког ширења (која се односи на размаке три истовремене линије) -, дајући пет главних закона субјекта.

Рационална тригонометрија је иначе широко заснована на картезијанској аналитичкој геометрији, са тачком дефинисаном као уређени пар рационалних бројева

(x,y)

И линије

ax+bx+c=0,

као општа линеарна једначина са рационалним коефицијентима а, б и ц.

Избегавањем израчунавања које се ослањају на операције квадратног корена које дају само приближне удаљености између тачака, или стандардне тригонометријске функције (и њихове инверзије), давање само скраћених полиномских апроксимација углова (или њихових пројекција) геометрије постаје потпуно алгебарско. Другим речима, не постоји претпоставка о постојању решења реалног броја проблема, већ резултати дати у пољу рационалних бројева, њиховим екстензијама алгебарских поља или коначним пољима. Након тога, тврди се, чини се да многи класични резултати еуклидске геометрије могу бити примењени у рационалном облику (као квадратни аналози) над било којим подручјем које није карактеристично за два.

Књига Божанске  пропорције показује примену рачунског рачуна користећи рационалне тригонометријске функције, укључујући тродимензионалне прорачуне запремине. Такође се бави и применом рационалне тригонометрије у ситуацијама које укључују ирационалне, као што је доказ да Платонске Круте имају рационалне 'проширенје' између својих лица.

Значај и критика

Рационална тригонометрија (РТ) се помиње само у скромном броју математичких публикација поред Вилдбергерових чланака и књига. Божанске пропорције одбацио је рецензент Паул Ј. Кемпбел, у часопису Математикс  из Математичке Асоциације из  Америке (МАА): "аутор тврди да ће ова нова теорија узети" мање од пола уобичајеног времена за учење ", али сумњам у то и то би ипак требало да буде повезано са традиционалним концептима и нотацијом. " Рецензент Вилијам Баркер, Исак  Хенри Винг, професор математике на Бовдоин Коледжу, такође пише за МАА, био је више одобравајући: "Божанске  пропорције су несумњиво вредан  додатак математичкој литератури. Пажљиво развија промишљен, паметан и користан алтернативни приступ. Не би било изненађујуће да неки од његових метода у завршници продру у стандардни развој ових предмета, али ако не дође до неочекиваног помака у прихваћеним погледима на темеље математике, онда не постоји јак случај,за рационалну тригонометрију која замењује класичну теорију ”[3] Аманда Гефтер из новог научника описала је приступ Вилдбергера као пример финитизма. [2] Џејмс Френклин из Математичке интелигенције тврди да књига заслужује пажљиво разматрање. [4]

Анализа Михајла  Гилсдорфа о примерима проблема које је Вилдбергер дао у раном раду оспорио је тврдњу да је РТ захтевао мање корака за решавање већине проблема, ако је слободна селекција класичних метода (као што је 'формула за везање' за подручје трокута од координате његових врхова или примену посебног случаја Стјуартове  теореме директно на троугао са медијаном) је дозвољено да оптимизује решење проблема. Што се тиче педагогије, и да ли коришћење квадратних величина које је увео РТ нуди стварне предности у односу на традиционално учење, аутор је приметио да класична тригонометрија није у почетку заснована на употреби Теилоровог низа за апроксимацију углова уопште, већ на мерењима акорда (два пута синус) угао) и на тај начин са правилним разумевањем ученици би могли да искористе континуиране предности коришћења линеарног мерења без тражених логичких недоследности када се накнадно уведе кружна параметризација под углом.

Квадрант

Квадранца и удаљеност (као квадратни корен) мере одвајање тачака у еуклидском простору. [6] Следећи Питагорину теорему, квадраната две тачке A₁ = (x₁, y₁) and A₂ = (x₂, y₂) у равни је стога дефинисана као сума квадрата разлика у  X и Y и координате:

Q(A₁,A₂)= (x₂-x₁)^2 +(y₂-y₁)^2

Неједнакост троугла   D_{1<d1+d2   изражава се под рационалном тригонометријом као (Q{3}-Q{1}-Q{2})^{2} 4Q{1}Q{2}}.}

Ширење

Ширење даје једну меру раздвајању две линије као један бездимензионални број у опсегу [0,1] (од паралелног до вертикалног) за еуклидску геометрију. Он замењује концепт (и има неколико разлика од) угла који се разматра у одељку који следи. Описи ширења могу укључивати:

Тригонометријски (најосновнији): синусни однос квадраната у правом троуглу, еквивалент квадрату синуса угла (лево). Проширивањем суседне стране АC формира део пречника јединице у кругу и узимајући у обзир сличне троуглове, ширење се може мерити као дужина (или однос према пречнику) спољашњег сегмента - више традиционално једнак пола пута (1 минус косинус двоструког угла код А) или haversine. Вектор: као рационална функција косих (и релативног правца) парних линија где се срећу. Картезијански: као рационална функција три координате коришћене за приписивање два вектора. Линеарна алгебра (из тачкастог производа): нормализована рационална функција: квадрат детерминанте два вектора (или пара линија које се укрштају) које формирају матрицу подељену производом њихових квадраната.

Израчунато ширење

Тригонометријски

Претпоставимо да се две линије, l1 и l2, секу у тачки А као што је приказано десно. Изаберите тачку B ≠ А на l1 и нека је C подножје вертикале од B до l2. Онда је ширење s:

Вектор / нагиб (две-варијанте)

Као и угао, ширење зависи само од релативних нагиба две линије (стални термини се елиминишу) и инваријантно је под преводом (тј. Сачувано је када се линије померају паралелно са самим собом). Дакле,дата су два реда чије су једначине:

a1x+b1y=const i a2x+b2y=const

можемо их преписати као две линије које се састају на почетку (0, 0) са једначинама:

a1x+b1y=0 i a2x+b2y=0

У овој позицији тачка (−b1, а1) задовољава прву једначину и (- b2, а2) задовољава другу и три тачке (0, 0), (−б1, а1) и (−б2, а2) формирајући ширинy koja ће дати три квадранта:

Крсни закон - види доле - у смислу ширења

Ово поједностављује, у бројнику, давање:

(S је израз за крст, квадрат косинуса било ког угла између пара линија или вектора, који даје своје име укрштеном закону.)

Затим, користећи Brahmagupta–Fibonacci идентитет

Стандардни израз за распростирање у смислу нагиба (или праваца) двију линија постаје

У овом облику (и у његовом картезијанском еквиваленту који следи) раширеност је однос квадрата детерминанте два вектора (нумератора) према производу њихових квадраната (називник)

Cartesian (три варијанте)

Ово замењује (- b1, а1) са (x1, y1), (- b2, а2) са (x2, y2) и пореклом (0, 0), као тачку пресека две линије, са (x3, y3) ) у претходном резултату

Ширење у односу на угао

За разлику од угла, којим се може дефинисати однос између зрака који зраче из тачке, параметризацијом мерења лука, и где се пар линија може сматрати као четири парова, формирајући четири угла, 'ширење' је фундаменталније у рационалној тригонометрији, описујући две линије једним мерилом рационалне функције (види горе). Будући да је еквивалент квадрату синуса одговарајућег угла θ (и haversine двоструког угла на бази акорда Δ = 2θ), ширење оба угла и његовог додатног угла су једнаки.

Уместо тога, (подсећајући на допунско својство) два једнака, ко-терминална ширења одређују трећи распон, чија ће вредност бити решење формуле троструког ширења за трокут (или три истовремене линије) које имају размаке s, s y

Проналажење троструке ширине исто тако користи формулу троструког ширења као квадратну једначину у непознатом трећем распону који третира позната ширења s и r (претходно решење) као константе. Ово се испоставља (након елиминисања 'мањих' решења) да буде

Даљи вишекратници било ког основног распростирања линија могу бити генерисани наставком употребе формуле троструког ширења на овај начин, или коришћењем формуле рекурзије (види доле) која се примењује индиректно. Док ће било који вишак распона који је рационалан бити полином у том распону (и стога рационалан), у супротном се не примењује. На пример, по формули полу-угла, две линије које се налазе под углом од 15 ° (или 165 °) прошириле су се.

И тако постоји алгебарско проширење рационалних бројева.

Теорема о периодичности растављања

За сваки цео број н и сваки приме п, постоји природни број м такав да је Сн (с) дељив са п тачно када м дели н. Овај број је дјелитељ или п - 1 или п + 1. Доказ теоретског својства броја је прво у раду Схукианг Гох и Н. Ј. Вилдбергер. То укључује разматрање пројектовног аналогног у квадранцу у [коначној пројектној линији] 'П' <суп> 1 </суп> (Фп).

Закони рационалне тригонометрије

Вилдбергер наводи да постоји пет основних закона у рационалној тригонометрији. Такође се наводи да се ови закони могу верификовати коришћењем математике средњошколског школи. Неке еквивалентне стандардне тригонометријске формулације су изражене као квадранте и ширине.

У следећих пет формула имамо троугао од три тачке А ₁ , А ₂ , А ₃ . Размаци углова на тим тачкама су 'с' ' ₁ ,' 'с' ' ₂ ,' 'с' ' _{3 </ sub >}, и К ₁ , К ₂ , К ₃ , су квадрати супротне стране троугла А ₁ , А ₂ , А _{3 < / sub>}. Као у класичном тригонометрији, ако знамо три од шест елемената 'с' ' ₁ ,' 'с' ' ₂ ,' 'с' ' ₃ , К ₁ , К ₂ , К ₃ , и ова три нису та три с, можемо израчунати остала три.

Формула "Трипле куад"

Три тачке А ₁ , А ₂ , А ₃ су колинеарне под условом да (К_1 + К_2 + К_3) ^ 2 = 2 (К_1 ^ 2 + К_2 ^ 2 + К_3 ^ 2)

где К ₁ , К ₂ , К ₃ квадранте између А ₁ , А ₂ , А ₃ . може се доказати аналитичком геометријом (највише коришћено средство унутар рационалне тригонометрије) или извести из Херонове формуле, користећи услов за колинеарност да троугао који чине три тачке има нулту област.

Питагорина теорема

Линије А ₁ А ₃ (квадранта К ₁ ) и А ₂ А ₃ (квадранта К ₂ ) су окомити (њихово ширење је 1) под условом да:

К_1 + К_2 = К_3.

где К ₃ представља квадрат између А ₁ и А ₂ .

Ово је еквивалентно [Питагориној теореми].

Постоје многи класични докази Питагорине теореме; ово је уоквирено појмовима рационалне тригонометрије. Ширење угла је квадрат његовог "[sine]". С обзиром на троугао 'АБЦ' ' са ширењем 1 између стране АБ и АЦ,

К (АБ) + К (АЦ) = К (БЦ) 

Где К представља "квадрант", тј. Квадратне удаљености.

Закон о проширењу

За било који троугао 'А' ' ₁ ' 'А' ' ₂ ' 'А' ' ₃ са квадрантима различизим од нуле

frac {с_1} {К_1} = frac {с_2} {К_2} = frac {с_3} {К_3}. </math>

Ово је синусни закон, само квадриран.

Закон укрштања

За било који триугао 'А' ' ₁ ' 'А' ' ₂ ' 'А' ' ₃

(К_1 + К_2 - К_3) ^ 2 = 4К_1 К_2 (1-с_3).

Ово је аналогно наспрам закона косинуса. Да се ​​назива 'право право' зато што (1 - с ₃ ), квадрат косинуса кута се назива 'крст'.

Формула троструког проширења

За било који 'А' ' ₁ ' 'А' ' ₂ ' 'А' ' ₃

(с_1 + с_2 + с_3) ^ 2 = 2 лево (с_1 ^ 2 + с_2 ^ 2 + с_3 ^ 2) + 4с_1 с_ 2 с_ 3.

Овај однос се може извести из формуле за Тригонометријски идентитет # Кутни и различити идентитети синуса сложеног угла: у троуглу (чија три угла сумирају до 180 °) имамо,

где (a) = s (b + c) = sin (b) cos (c) + sin (c) cos (b) </math>.

Еквивалентно, на опису однос између ширих тр истовремене линије, ширењу (као и угао) није под утицајем када се стране троугла померају паралелно са собом како би се састале у заједничкој тачки.

Познавање два распона омогућава да се трећа израчуна решавањем придружене квадратне формуле. Пошто се добијају два решења, за избор одговарајућег морају се користити и даље правила ширења троугла . Иако је ово чини комплекснијим од добијања додатног угла директно одузимањем, избегава се ирационална вредност 'π' (имплицитно присутна у суму кута троугла).

Пример: (проверите закон о ширењу Ф <суб> 13 </суб>))

Слика (десно) показује троугао три такве линије у коначном подешавању поља Ф ₁₃ × f ₁₃  :

Свака линија има свој симбол, пресеци линију ( вертицес ) који су означени са два симбола присутна у тачкама: од коначно поље - равнина Ф ₁₃ × f ₁₃ .]]

(2, 8), (9, 9) и (10, 0).

Користећи Питагорину теорему са аритметиком модуло 13, налазимо да ове стране имају квадранте:

(9 - 2) ² + (9 - 8) ² = 50 mod 11 mod 13

(9 - 10) ² + (9 - 0) ² = 82 mod 4 mod 13

(10 - 2) ² + (0 - 8) ² = 128 mod 11 mod 13

Преуређивање закона као

с_3 = 1 - frac {(К_1 + К_2 - К_3) ^ 2} {4К_1 К_2}

даје одвојене изразе за свако ширење, у смислу три квадранта:

1 - ( '4 + 11 - 11' ) <sfrac> 2 / 4 '4' × '11' = 1 - 3/ 7 ≡ 8 mod 13

1 - ( '11 + 11 - 4 ') ² / 4' 11 '×' 11 ' = 1 - 12/ 3 13 10 mod 13

1 - ( '4 + 11 - 11' ) ² / 4 '4' × '11' = 1 - 3/ 7 ≡ 8 mod 13

Заузврат ћемо приметити да су сви ови односи једнаки - по закону о распрострањењу:

8/ 11: 10/ 4: 8/ 11

Пошто се први и последњи однос поклапају (чине једнакокраки троугао), само прелиминарно мноштво и узимамо разлике, да бисмо показали једнакост са средњим односима:

Иначе, стандардна еуклидска равнина се састоји од само рационалних тачака, ℚ × ℚ, изостављајући било које не-алгебарске бројеве као решења. Својства као што су појављивање објеката, који представљају рјешење или 'садржај' геометријских теорема, стога слиједе теоретски приступ броју који се ишћу и који је рестриктивнији од оног који допушта реалне бројеве. На пример, нису све линије које пролазе кроз центар круга се сматрају да одговарају кругу на његовом обиму. Да би се појавио инцидент, такве линије морају бити у облику

и нужно испунити круг у рационалној тачки.