Sunshine021

NIKVIST-ŠENONOVA TEOREMA ODABIRANJA

Sl.1: Hipotetički spektar signala ograničenog opsega kao funkcija frekvencije

Nikvist-Šenonova teorema odabiranja je suštinski rezultat u polju teorije informacija, telekomunikacijama i obradi signala. Odabiranje je proces konvertovanja signala (npr. kontinualne funkcije u vremenu ili prostoru) u brojnu sekvencu (u diskretnu funkciju u vremenu ili prostoru).

Teorema glasi: Ako funkcija X(t) ne sadrži frekfencije veće od Bcps, potpuno je određena davanjem svojih Y komponenti serijom tačaka sa periodom ${\frac {1}{2B}}\$ U suštini teorema pokazuje da analogni signal, koji je bio odabiran, može savršeno da se rekonstruiše od odabirka, ako perioda odabirka prekoračuje 2B odabirka po sekundi, gde je B najveća frekvencija u originalnom signalu. Ako signal sadrži komponentu na tačno B Hz, tada odabirci koji se nalaze na periodi od ${\frac {1}{2B}}\$ sec ne određuju potpuno signal, tu ne važi Šenonov dokaz. Noviji iskazi ove teoreme ponekad izostavljaju stanje jednakosti, tj. stanje ako X(t) ne sadrži frekvencije koje su veće ili jednake B ; ovaj iskaz je ekvivalentan Šenonovom osim ako funkcija sadrži sinusnu komponentu na frekvenciji koja iznosi B. Neophodne predpostavke za dokaz teoreme formiraju matematički model koji predstavlja idealizaciju bilo koje realne situacije. Zaključak, da je savršena rekonstrukcija moguća, je matematički ispravan za model, ali predstavlja samo aproksimaciju stvarnih signala i samih tehnika odabiranja. Teorema takođe dovodi do formule za rekonstrukciju originalnog signala. Konstruktivni dokaz teoreme dovodi do razumevanja aliasinga koji može da nastane kada sistem odabiranja zadovoljava uslove teoreme. Nikvist-Šenonova teorema odabiranja predstavlja i dovoljan uslov.

UVOD

Signal ili funkcija su ograničeni ako ne sadrže energiju na frekvencijama većim od širine propustnog opsega B. Signal koji je ograničenog opsega je ograničen onoliko koliko se brzo menja u vremenu i stoga koliko detalja može da prenese u intervalu vremena. Teorema odabiranja tvrdi da jednako razdvojeni diskretni odbirci predstavljaju potpunu reprezentaciju signala ako je širina propusnog opsega manja od polovine periode odabiranja. Neka X(t) predstavlja signal neprekidan u vremenu, a X(f) Furijeovu transformaciju tog signala

$X(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt.\$ .............(1)

Signal X(t) je ograničen jednostranom uskopojasnom propusnošću B. ako je:

$X(f)=0\quad$  za svako  $|{f}|>B\,$ .............(2)

ili ekvivalentno, X</ref>  $\subseteq$  [-B,B]. Tada je dovoljan uslov za tačnu rekonstrukciju od originala do uniformne periode odabiranja $f_{s}\,$ :

$f_{s}>2B,\,$ .............. (3)

ili

$B<{f_{s} \over 2}\,$ .............(4)

$2B\,$ se zove Nyquist-ova mera i pripada ograničenom signalu, dok je $f_{s}/2\,$ poznata kao Nyquist-ova frekvencija i pripada ovom sistemu odabiranja. Vremenski period između uzastopnih odbiraka se naziva period odabiranja.:

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{f_{s}}},\,$ ............. (5):

a uzorci od $x(t)\,$ su označeni sa:

$x(nT)\quad n\in \mathbb {Z} \,$(celi brojevi).............(6):

Teorema odabiranja vodi do procedure rekonstrukcije originalnog $x(t)\$ odbirka i ukazuje na dovoljne uslove da bi takva rekonstrukcija bila tačna.

Proces odabiranja

Teorema opisuje dva procesa u obradi signala: proces odabiranja, u kome je kontinualni signal pretvoren u diskretni, i proces rekonstrukcije u kojem je originalni kontinualni signal praćen od diskretnog signala.

Kontinualni signal vremenom se menja i proces odabiranja se vrši merenjem vrednosti signala svakih T perioda vremena, koje se nazivaju periode odabiranja. U praksi, za signale koje su u funkciji vremena, perioda odabiranja je veoma mala ( reda mili, mikro ili manje sekundi ). Ovo dovodi do niza brojeva

Споменице и захвалнице

100 измена

35%