Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција
M
(
a
,
b
,
z
)
{\displaystyle M(a,b,z)}
z
d
2
w
d
z
2
+
(
b
−
z
)
d
w
d
z
−
a
w
=
0.
{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}
Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру , који је 1837. први увео ту функцију.
Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:
M
(
a
,
b
,
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
(
n
)
z
n
b
(
n
)
n
!
=
1
F
1
(
a
;
b
;
z
)
{\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z)}
где је
a
(
n
)
=
a
(
a
+
1
)
(
a
+
2
)
⋯
(
a
+
n
−
1
)
{\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,}
Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција
U
(
a
,
b
,
z
)
{\displaystyle U(a,b,z)}
U
(
a
,
b
,
z
)
=
Γ
(
1
−
b
)
Γ
(
a
−
b
+
1
)
M
(
a
,
b
,
z
)
+
Γ
(
b
−
1
)
Γ
(
a
)
z
1
−
b
M
(
a
−
b
+
1
,
2
−
b
,
z
)
.
{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).}
уреди
Витакерове функције
M
κ
,
μ
(
z
)
{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)}
W
κ
,
μ
(
z
)
{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)}
M
κ
,
μ
(
z
)
=
exp
(
−
z
/
2
)
z
μ
+
1
2
M
(
μ
−
κ
+
1
2
,
1
+
2
μ
;
z
)
{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
W
κ
,
μ
(
z
)
=
exp
(
−
z
/
2
)
z
μ
+
1
2
U
(
μ
−
κ
+
1
2
,
1
+
2
μ
;
z
)
{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}
У случају
b
=
2
a
{\displaystyle b=2a}
Беселову функцију :
1
F
1
(
a
,
2
a
,
x
)
=
e
x
2
0
F
1
(
;
a
+
1
2
;
1
16
x
2
)
=
e
x
2
(
1
4
x
)
1
2
−
a
Γ
(
a
+
1
2
)
I
a
−
1
2
(
1
2
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\,_{1}F_{1}(a,2a,x)&=e^{\frac {x}{2}}\,_{0}F_{1}(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{16}}x^{2})\\&=e^{\frac {x}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}x\right)^{{\tfrac {1}{2}}-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-{\frac {1}{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}x\right).\end{aligned}}}
U
(
a
,
2
a
,
x
)
=
e
x
2
π
x
1
2
−
a
K
a
−
1
2
(
x
2
)
,
{\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{\frac {x}{2}}}{\sqrt {\pi }}}x^{{\frac {1}{2}}-a}K_{a-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right),}
Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома :
M
(
a
,
b
,
x
y
x
−
1
)
=
(
1
−
x
)
a
⋅
∑
n
a
(
n
)
b
(
n
)
L
n
(
b
−
1
)
(
y
)
x
n
{\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}
Трикомијева функција задовољава релацију:
U
(
a
,
b
,
z
)
=
e
(
1
−
t
)
z
∑
i
=
0
(
t
−
1
)
i
z
i
i
!
U
(
a
,
b
+
i
,
z
t
)
=
=
e
(
1
−
t
)
z
t
b
−
1
∑
i
=
0
(
1
−
1
t
)
i
i
!
U
(
a
−
i
,
b
−
i
,
z
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)=\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}
Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:
M
(
a
,
b
,
z
)
=
e
z
M
(
b
−
a
,
b
,
−
z
)
{\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}
U
(
a
,
b
,
z
)
=
z
1
−
b
U
(
1
+
a
−
b
,
2
−
b
,
z
)
{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}
Кумерова функција повезана је релацијом:
z
d
M
d
z
=
z
a
b
M
(
a
+
,
b
+
)
=
a
(
M
(
a
+
)
−
M
)
=
(
b
−
1
)
(
M
(
b
−
)
−
M
)
=
(
b
−
a
)
M
(
a
−
)
+
(
a
−
b
+
z
)
M
=
z
(
a
−
b
)
M
(
b
+
)
/
b
+
z
M
{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}
Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:
U
(
a
,
b
,
x
)
∼
x
−
a
2
F
0
(
a
,
a
−
b
+
1
;
;
−
1
x
)
,
{\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}
уреди
За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:
M
(
a
,
b
,
z
)
=
Γ
(
b
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
−
a
)
∫
0
1
e
z
u
u
a
−
1
(
1
−
u
)
b
−
a
−
1
d
u
.
{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du\,\quad .}
тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле . За :
re
a
>
0
)
{\displaystyle \operatorname {re} \ a>0)}
U
(
a
,
b
,
z
)
=
1
Γ
(
a
)
∫
0
∞
e
−
z
t
t
a
−
1
(
1
+
t
)
b
−
a
−
1
d
t
{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt}
Могу да се представе и Барнсовим интегралима:
M
(
a
,
b
,
z
)
=
1
2
π
i
Γ
(
b
)
Γ
(
a
)
∫
−
i
∞
i
∞
Γ
(
−
s
)
Γ
(
a
+
s
)
Γ
(
b
+
s
)
(
−
z
)
s
d
s
{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}
