Неодређени интеграл

Теоријски уводУреди

ДефиницијаУреди

За функцију   кажемо да је примитивна (првобитна) функција функције   дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:

  1. Функција   је непрекидна на интервалу  
  2. Функција   у свакој унутрашњој тачки интервала   има извод, и при том је:  .

Скуп свих примитивних функција функције   на интервалу   назива се неодређени интеграл функције   на интервалу   и обележава са  , где је   подинтегрална функција, а   подинтегрални израз.


Теорема 1. Ако је   примитивна функција функције   на интервалу  , онда ја и свака функција   , где је c∈   произвољна константа, примитивна функција за   на интервалу  .
Доказ.
 


Ако функција   има примитивну функцију на интервалу  , онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција   представља скуп свих примитивних функција за функцију   на интервалу  , где је   једна њена примитивна функција на интервалу   .

Теорема 2. Нека су   и   примитивне функције за   на интервалу  , онда постоји реална константа с таква да важи  , x∈  

Доказ.
Дефинишимо функцију    за x∈  .
Функције   и   су непрекидне на интервалу   ⇒ функција   је непрекидна (као разлика непрекидних функција)
  и   су диференцијабилне у   ⇒ функција   је диференцијабилна у   (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи :
      .
Како је извод функције   једнак 0 у свакој тачки интервала    је константна функција на  , односно:
    ,
па је  , c∈  , x∈  .


Теорема 3. Нека је функција   непрекидна на интервалу   и диференцијабилна у  . Тада је :   c∈  , x∈  .
Доказ.
  c∈  , x∈  

Теорема 4. Нека функција   има примитивну функцију на интервалу  . Тада у унутрашњим тачкама интервала   важи: .
Доказ.
 .

Теорема 5. Нека функције   и   имају примитивне функције   и  , редом, на интервалу  . Тада функција   има примитивну функцију   на  , и важи:  .
Доказ.
  и   примитивне функције за   и   на интервалу    и   су непрекидне на   и диференцијаблине на   ⇒ Функција   је непрекидна на интервалу   и диференцијабилна на  . При том, важи:  
⇒ функција   има примитивну функцију   на  .
  и  ,   , .
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
  =  ,
а она очигледно важи јер  .

Теорема 6. Нека функција   има примитивну функцију   на интервалу   и нека је  . Тада функција   има примитивну функцију на  , и још ако је k≠0, важи:  .
Доказ.
  је примитивна функција функције   на интервалу  , што значи да је непрекидна на  , диференцијабилна на унутрашњости интервала   и важи:  . Дакле, следи да је и функција   непрекидна и важи:  ,  . ⇒   је примитивна фукнција функције   на интервалу  .
Нека је k≠0. Тада:
 ,  ,
 ,  .
Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:
  =  
Заиста,
   јер је  
   јер је  , k≠0.
Ако је k=0:
 ,  ,
 ,  .
⇒ нису једнаки за k=0.

Теорема 6. Нека функција   има примитивну фукнцију   на интервалу  . Тада је функција   примитивна функција фукције   на  ,  , и важи:  ,  .
Доказ.
  је примитивна функција функције   на интервалу    ,  
 
  је примитивна функција функције   на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла.
Примери:
 
 


Парцијална интеграцијаУреди

Рекурзивне формулеУреди

Интеграција тригонометријских функцијаУреди




ЛитератураУреди

  • Снежана Живковић Златановић: Математичка анализа 1 и 2, Природно−математички факултет, Ниш, 2017.

Спољашње везеУреди