Википедија

Површина — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Бот: исправљена преусмерења; козметичке измене
Ред 3:
'''Површина''' је [[геометрија|геометријски]] појам који означава меру величине геометријске слике у еуклидском дводимензионалном простору. Тачка и линија немају површину, односно њихова површина је нула. Са друге стране [[раван]] има бесконачну површину. Површина је такође и део тела у простору који је изложен спољашњости. Мерењем површина су се бавили још стари Египћани, али су га до нивоа науке подигли тек [[античка Грчка|стари Хелени]]. Код њих се површина неке геометријске слике израчунавала тако што се низом трансформација претвара у [[квадрат]] исте површине. Потом се измере странице квадрата и лако израчуна површина.<ref name="AF">{{cite web|url = http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title = Area Formulas|publisher = Math.com|accessdate = 2 July 2012}}</ref> Од тих дана је израчунавање површине добило други назив: ''квадратура''.
 
Површина је количина која описује у којој је мери дводимензионална фигура или облик, или планарне ламине, у [[Раван (математика)раван|равни]]. Површина је њен аналогни појам на дводимензионалној [[Површ|површи]] тродимензионалног облика. Површина може бити схваћена као количина материјала са датом дебљином која би била потребна да обуче модел облика, или количина боје потребне да прекрије површ са униформним наносом.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3 July 2012}}</ref> То је дводимензионални аналог [[Дужина|дужине]] криве (једнодимензионални концепт) или [[Запремина|запремине]] чврстог тела (тродимензионални концепт).
 
У [[СИМеђународни систем јединица|СИ систему]]у, стандардна јединица површине је [[квадратни метар]] (пише се као m<sup>2</sup>), што је површина квадрата чије су странице дуге по један [[метар]].<ref name="B">[[Међународни биро за тегове и мере|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> Облик са површином од три квадратна метра би имао исту површину као и три таква квадрата. У [[Математика|математици]], јединица квадрата је дефинисана да има површину од један, и површину од било којег облика или површи је [[Бездимензионална величина|бездимензиони реални број]].
 
Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су [[Троугао|троуглови]], [[Правоугаоник|правоугаоници]] и [[Кружница|кругови]]. Користећи ове формуле, површина сваког [[Полигонмногоугао|полигона]] може се наћи дељењем полигона у троуглове.<ref name="bkos">{{Cite book |author1 = Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld|last3=Overmars|first3=Mark|author3-link = Mark Overmars|last4=Schwarzkopf|first4=Otfried|year=2000|title = Computational Geometry|publisher = [[Springer-Verlag]]|edition = 2nd revised|id=ISBN 3-540-65620-0|chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=45–61}}</ref> За облике са закривљеним границама, [[математичка анализа|калкулус]] се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа).<ref>{{cite book|first = Carl B.|last = Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer|title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|publisher = Dover|year=1959|id=ISBN 0-486-60509-4}}</ref>
 
За чврсти облик као што је [[сфера]], [[Купа (геометрија)|конус]] или цилиндар, површина њихових површи назива се површина површи.<ref name="MathWorld">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/Area.html|title = Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3 July 2012}}</ref><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{cite web|url = http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|title = Surface Area|publisher = [[Wolfram MathWorld]]|author = [[Eric W. Weisstein]]|accessdate = 3 July 2012}}</ref> формуле за површине једноставних облика биле су рачунате у доба древних Грка, али рачунање површине компликованијих облика обично захтева мултиваријабилни калкулус.
Ред 17:
== Формална дефиниција ==
 
Појам „површине” су дефинише [[аксиомаксиома|аксиомима]]има. Површина може бити дефинисана као функција из колекције -{M}- specijalne vrste равних фигура (названи мерљиви скупови) ка скупу реалних бројева који задовољавају следеће особине:
* За све -{''S''}- у -{''M''}-, -{''a''(''S'') ≥ 0}-.
* Ако су -{''S''}- и -{''T''}- у -{''M''}- тада су и -{''S'' ∪ ''T''}- и -{''S'' ∩ ''T''}-, и такође -{''a''(''S''∪''T'') = ''a''(''S'') + ''a''(''T'') − ''a''(''S''∩''T'')}-.
Ред 34:
Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи|Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао|правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-<sup>2</sup>.) Архимед је апроксимирао вреднсот параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг, бележио његову површину, и затим удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао|хексагон]], након тога је понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон|описаним полигонима]]).
 
Швајцарски научник [[Јохан Хајнрих Ламберт]] је 1761. године доказао да је [[пи|π]], однос површине круга и квадрата његовог полупречника, и да је једнака [[ирационалниирационалан број|ирационалном]] броју, што значи да није једнака количнику било која два цела броја.<ref name=Arndt>{{cite book|last=Arndt|first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate=2013-06-05}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> иранционална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{citation|last=Eves|first=Howard|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|id=ISBN 0-03-029558-0|pages=121}}</ref> Године 1882, немачки математичар [[Фердинанд фон Линдеман]] доказао да је π [[трансцендентан број|трансцендентна]] вредност (да није решење било које [[алгебарска једначина|полиномне једначине]] са рационалним коефицијентима), чиме је потврдио претпоставку [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандра]] и Ојлера.<ref name=Arndt/>{{rp|p. 196}}
 
=== Површина троугла ===
Ред 89:
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}} (квадрат).
 
Формула за површину правоугаоника следи директно из основних својстава површине, и понекад се узима као [[дефиниција]] или [[аксиома|аксиом]]. С друге стране, да је [[геометрија]] развијена пре [[аритметика|аритметике]], ова формула би се могла користити за дефинисање [[множење|множења]] [[реалниреалан број|реалних бројева]].
 
[[Датотека:ParallelogramArea.svg|thumb|left|180px|alt=A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|Фигуре једнаке површине.]]
Ред 98:
Већина других једноставних формула за површину следи из метода [[Проблем дисекције|дисекције]]. Тиме је обухваћено дељење облика у комаде, при чему је сума површина комада једнака површини оригиналног облика.
 
На пример, било који [[паралелограм]] се може поделити у [[четвороугао|трапезоид]] и [[правоугаони троугао]], као што је приказано на слици лево. Ако се троугао помери на другу страну трапезоида, онда је резултирајућа фируга правоугаоник. Из овога следи да је површина паралелограма једнака површини правоугаоника:<ref name=AF/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} <big> (паралелограм).</big>
[[Датотека:TriangleArea.svg|thumb|right|180px|alt=A parallelogram split into two equal triangles|Два једнака троугла.]]
Међутим, исти паралелограм се исто тако може пресећи дуж [[дијагонала|дијагонале]] у два [[Подударност (геометрија)|подударна]] троугла, као што је приказано на слици с десне стране. Површина сваког [[троугао|троугла]] је половина површине паралелограма:<ref name=AF/>
:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big> (троугао).</big>
Слични аргументи могу се користити за проналажење формуле за површину [[трапезоидчетвороугао|трапезоида]]а<ref>{{citation|title=Problem Solving Through Recreational Mathematics|first1=Bonnie|last1=Averbach|first2=Orin|last2=Chein|publisher=Dover|year=2012|isbn=978-0-486-13174-0|url=https://books.google.com/books?id=Dz_CAgAAQBAJ&pg=PA306|pages=306}}</ref> као и компликованијих [[полигонмногоугао|полигона]]а.<ref>{{citation|title=Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach|first=K. D.|last=Joshi|publisher=CRC Press|year=2002|isbn=978-0-8493-1319-6|url=https://books.google.com/books?id=5SDcLHkelq4C&pg=PA43|pages=43}}</ref>
 
=== Површина закривљених облика ===
Ред 115:
Мада је дисекција која се користи у овој формули само приближна, грешка постаје све мања и мања како се круг дели у све мање и мање секторе. [[Гранична вредност|Лимит]] површине апроксимираног паралелограма је прецизно {{math|π''r''<sup>2</sup>}}, што је површина круга.<ref name=Surveyor>{{cite journal|last1=Braden|first1=Bart|date=September 1986|title= The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|publisher=|doi=10.2307/2686282|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|accessdate=15 July 2012|pages=326–337}}</ref>
 
Овај аргумент је заправо једноставна примена идеје [[Инфинитезимални рачун |инфинитезималног рачуна]]. У античка времена, [[метод исцрпљивања]] је кориштен на сличан начин за налажење површине круга, и тај метод се сад сматра прекурзором [[Интеграл|интегралног рачуна]]. Користећи модерне методе, површина круга се може израчунати користећи [[одређени интеграл]]:
:<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.</math>
 
Ред 131:
Формулу за површину [[сфера|сфере]] је теже извести: пошто сфера има ненулту [[Гаусова закривљеност]], она се не може поравнати. Формулу за површину сфере је први извео [[Архимед]] у свом раду ''[[О сфери и цилиндру]]''. Формула је:<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}} <big> (сфера),</big>
где је {{math|''r''}} радијус сфере. Као са формулом површине круга, свако извођење ове формуле наследно користи методе сличне методима [[калкулусматематичка анализа|калкулуса]]а.
 
=== Опште формуле ===
 
==== Површине дводимензионалних фигура ====
* [[Троугао]]: <math>\tfrac12Bh</math> (где је -{''B''}- било која страна, и -{''h''}- је растојање од линије на којој -{''B''}- лежи до другог темена троугла). Ова формула се може користити ако је висина -{''h''}- позната. Ако су познате дужине три стране онда се може користити ''[[Херонова формула]]'': <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> где су -{''a''}-, -{''b''}-, -{''c''}- стране троугла, и <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> је половина његовог обима.<ref name=AF/> Ако су један угао и две стране дате, површина је <math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> где је {{math|''C''}} дати угао и {{math|''a''}} и {{math|''b''}} су стране.<ref name=AF/> Ако је троугао приказан на координатној равни, може се користити матрица која се поједностављује апсолутном вредношћу израза <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Ова формула је позната као [[формула пертле]] и то је један једноставан начин израчунавања површине троугла заменом координата три тачке ''(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>)'', ''(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>)'', и ''(x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>)''. Формула пертле се исто тако може користити за налажење површине других полигона кад су њигова темена позната. Још један приступ налажењу површине координатног троугла је путем [[калкулусматематичка анализа|калкулуса]]а.
* [[једноставни полигон]] конструисан на мрежи равномерно размакнутих тачака (i.e., тачака са [[Цео број|целобројним]] координатама) таквој да су сва темена полигона тачке на мрежи: <math>i + \frac{b}{2} - 1</math>, где је -{''i''}- број тачака мреже унутар полигона и -{''b''}- је број граничних тачака.<ref name=Pick>{{cite journal |last=Trainin|first=J. |title=An elementary proof of Pick's theorem |journal=[[Mathematical Gazette]] |volume=91 |issue=522 |date=November 2007 |pages=536–540}}</ref> Овај резултат је познат као [[Пикова теорема]].<ref name=Pick/>
 
Ред 168:
* [[Ваљак (геометрија)|цилиндар]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, где је -{''r''}- полупречник основе и -{''h''}- је висина. ''2<math>\pi</math>r'' се такође може написати као ''<math>\pi</math> -{d}-'', где је -{''d''}- дикаметар.
* [[Призма (геометријска фигура)|призма]]: -{2B + Ph}-, где је -{''B''}- површина основе, -{''P''}- је обим базе, и -{''h''}- је висина призме.
* [[пирамиде|пирамида]]: <math>B + \frac{PL}{2}</math>, где је -{''B''}- површина основе, -{''P''}- је обим основе, и -{''L''}- је дужина нагива.
* [[Квадар|правоугаона призма]]: <math>2 (\ell w + \ell h + w h)</math>, где је <math>\ell</math> дужина, ''w'' је ширина, и -{''h''}- је висина.
 
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Површина”