Беселова функција — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот Додаје: ar:دالة بسل |
|||
Ред 23:
:<math>J_{-n}(x) = (-1)^n J_{n}(x).\,</math>
То значи да решења нису више независна. У овом случају друго линеарно независно решење је Беселова функција друге врсте.
==== Беселови интеграли ====
Алтернативну дефиницију Беселове функције, за целобројне вредности <math>n</math>, могуће је изразити у облику интеграла:
:<math>J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.</math>
Овај приступ је користио и сам Бесел, и из ове дефиниције је извео неке особине функције. Дефиниција се може уопштити на било коју реалну вредност реда додавањем новог члана
:<math>J_\alpha(x) =
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)d\tau
- \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_{0}^{\infty}
e^{-x \sinh(t) - \alpha t} dt. </math>
Постоји и следећа целобројна дефиниција:
:<math>J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.</math>
=== Беселове функције друге врсте : -{''Y''<sub>''α</sub>}- ===
Беселове функције друге врсте, које се означавају са -{''Y''<sub>''α''</sub>(''x'')}-, су решења Беселове диференцијалне једначине. Она имају сингуларитет ([[Бесконачност (математика)|бесконачна су]]) у координатном почетку (-{''x''}- = 0).
[[Слика:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg|мини|300п|десно|График Беселових функција друге врсте, -{''Y''<sub>''α''</sub>(''x'')}-, за целобројне редове α = 0, 1, 2.]]
-{''Y''<sub>''α''</sub>(''x'')}- се понекад назива и ''Нојманова функција'', која се означава са -{''N''<sub>''α''</sub>(''x'')}-. За реални број α, одговарајућа функција -{''J''<sub>''α''</sub>(''x'')}- гласи:
:<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.</math>
За целобројни ред -{''n''}-, функција се дефинише као [[Гранична вредност|лимес]] када α тежи ка -{''n''}-:
:<math>Y_n(x) = \lim_{\alpha \to n} Y_\alpha(x)</math>
Резултат у целобројном облику гласи:
:<math>Y_n(x) =
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(x \sin\theta - n\theta)d\theta
- \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}
\left[ e^{n t} + (-1)^n e^{-n t} \right]
e^{-x \sinh t} dt. </math>
За реално ''α'', дефиниција -{''Y''<sub>''α''</sub>(''x'')}- је беспотребна (што се види из дефиниције). Насупрот томе, када је α цео број, -{''Y''<sub>''α''</sub>(''x'')}- је друго линеарно независно решење Беселове једначине. Штавише, слично функцијама прве врсте, важи следећа једнакост:
:<math>Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x).\,</math>
==Спољашње везе==
| |||