Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun je grana matematike, koja se bavi funkcijama, derivacijama, integralima, limesima funkcije i graničnim vrednostima. Proučava razumevanje i opisivanje promena merljivih varijabli. Središnji koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Dve glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun je osnova matematičke analize.

Koristi se u nauci, ekonomiji, inženjerstvu itd. Služi za rešavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu rešiti algebrom ili geometrijom.

Infinitezimalni račun se na latinskom jeziku kaže "calculus infinitesimalis" i iz toga je proizašao naziv "kalkulus", koji se koristi u dijelu sveta. Reč "infinitesimalis" znači "beskrajno mala količina".

Istorija

Isak Njutn

Gottfried Wilhelm Leibniz

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali volumen piramide bez vrha. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu ekshaustacije, koja je metoda izračunavanja površine nekog oblika tako što se u njega ubacuje niz poligona, čije površine konvergiraju prema površini celog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. veku, da bi izračunao površinu kruga. U 5. veku Ču Čungdži koristio je metodu, koja će se kasnije nazvati Cavalierov princip za volumen sfere.

Godine 499. indijski je matematičar Aryabhata I. računao infinitezimalanim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na temelju te jednačine, u 12. veku Bhaskara je razvio neku vrstu derivacije. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam osmislio je formulu za sve vrste četvrtih potencija i time pripremio put za integralni račun. U 12. veku perzijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubičnog polinoma. U 17. veku japanski matematičar Šinsuke Seki Kova došao je do osnovnih spoznaja infinitezimalnoga računa.

Infinitezimalni račun otkrili su nezavisno jedan o drugog u otprilike isto vreme Isak Njutn i Gottfried Wilhelm Leibniz. Oni su otkrili zakone diferencijalnog i integralnog računa, derivacije i približne polinomske serije. Njihov rad nastavili su matematičari Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, Henri Léon Lebesgue i dr.

Glavna poglavlja

Derivacija

Derivacija funkcije $f$ je granična vrednost koeficijenta porasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za danu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

predstavlja površinu područja u xy-ravnini ograničenu grafom od f, x-osi, i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes funkcije

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema, kako izračunati vrednost funkcije u slučajevima, kada funkcija nije dobro definisana npr.: deljenje s nulom. Limes funkcije f u tački a je broj, kojemu se pridružuje funkcijska vrednost f(x), kada se vrednost x približuje a.

$\lim _{x\to a}f(x)$

npr.

$\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1$

Svojstva limesa

${\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}$