Подгрупа (математика) — разлика између измена

м (Враћене измене 109.228.111.115 (разговор) на последњу измену корисника BokicaK)
 
Ова група има пар нетривијалних подгрупа: ''-{J}-''={0,4} и ''-{H}-''={0,2,4,6}, где је ''-{J}-'' такође подгрупа од ''-{H}-''. Кајлијева табела за ''-{H}-'' је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за ''-{G}-''. Група ''-{G}-'' је [[циклична група|циклична]], па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..
 
== Косети и Лагранжова теорема ==
Ако је дата подгрупа ''-{H}-'' и неко ''-{a}-'' из -{G}-, дефинишемо '''леви [[косет]]''' -{''aH'' = {''ah'' : ''h''}- из ''-{H}-''}. Како је ''-{a}-'' инверзибилно, пресликавање -{&phi; : ''H'' &rarr; ''aH''}- дефинисано као -{&phi;(''h'') = ''ah''}- је [[бијекција]]. Штавише, сваки елемент из ''-{G}-'' се налази у тачно једном левом косету од ''-{H}-''; леви косети су класе еквиваленције у односу на [[релација еквиваленције|релацију еквиваленције]] -{''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub>}- [[ако и само ако]] је -{''a''<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>''a''<sub>2</sub>}- у ''-{H}-''. Број левих косета ''-{H}-'' се назива ''индексом'' ''-{H}-'' у ''-{G}-'', и означава се са -{[''G'' : ''H'']}-.
 
[[Лагранжова теорема (теорија група)|Лагранжова теорема]] гласи да за коначну групу ''-{G}-'' и њену подгрупу ''-{H}-'',
:<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>
где -{red(''G'')}- и -{red(''H'')}- означавају [[ред (теорија група)|редове]] од ''-{G}-'' и ''-{H}-''. Ред сваке подгрупе од ''-{G}-'' (и ред сваког елемента ''-{G}-'') обавезно дели -{red(''G'')}-.
 
'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''Ha'' = {''ha'' : ''h''}- у ''-{H}-''}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{[''G'' : ''H'']}-.
 
Ако је -{''aH'' = ''Ha''}- за свако ''-{a}-'' из ''-{G}-'', тада се каже да је ''-{H}-'' [[нормална подгрупа]]. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.
 
[[Категорија:Теорија група]]
Анониман корисник