Подгрупа (математика)

Подгрупа групе је непразан скуп који је сам група у односу на бинарну операцију * дефинисану у групи. Другим речима, је подгрупа ако је рестрикција * на операција групе на . Ознака подгрупе групе је .

Дефинисана преко хомоморфизма, је подгрупа групе ако и само ако је подскуп од и постоји инклузиони хомоморфизам из у , односно за свако .

Права погрупа групе је подгрупа , која је прави подскуп од (т. ј. ). Тривијална подгрупа било које групе је подгрупа која се састоји само од неутрала. Ако је подгрупа од , понекад се каже да је надгрупа .

Основна својства подгрупаУреди

Теорема:

  • Непразан подскуп   скупа   је подгрупа   групе   ако и само ако је   затворена у односу на множење и инвертовање елемената. Затвореност за производе и инверзе подразумева да кад год су   и   унутар  , тада је и   и   су такође унутар  . Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су   и   унутар  , тада је и   унутар  
  • Непразан подскуп   скупа   је подгрупа   групе   ако и само ако за свака два елемента   из  , и елемент   припада  .
  • Непразан подскуп   коначног скупа   је подгрупа   групе   ако и само ако је скуп   затворен у односу на множење. У овом случају, сваки елемент   из   генерише коначну цикличну подгрупу од  , и инверз   је тада  , где је   ред  .[1]

Особине подгрупаУреди

  • Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је   група са неутралом  , и   је подгрупа   са неутралом  , тада је  .
  • Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је   подгрупа  , и   и   су елементи  , такви да  , тада  .
  • Пресек подгрупа   и   групе   је такође подгрупа. Унија   и   је подгрупа ако и само ако или   садржи   или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији   и   али њихова сума 5 није.
  • Ако је   подскуп  , тада постоји најмања подгрупа која садржи  , која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже  ; ово се означава као   и назива се подгрупом генерисаном  -ом. Елемент   је унутар   ако и само ако је коначан производ елемената   и њихових инверза.
  • Сваки елемент   групе   одређује (генерише) цикличну подгрупу  . Ако је   изоморфно са   за неки позитиван цео број  , онда је   најмањи позитиван цео број за који  , и   се назива редом  . Ако је   изоморфно са  , тада се каже да је   бесконачног реда.

ПримерУреди

Нека је   Абелова група чији су елементи

 

и чија је операција групе сабирање по модулу осам. Њена Кејлијева табела је

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Ова група има пар нетривијалних подгрупа:   и  , где је   такође подгрупа од  . Кајлијева табела за   је горњи леви квадрант Кајлијеве табеле за  . Група   је циклична, па су и њене подгрупе цикличне. Уопштено, подгрупе цикличних група су цикличне..

Косети и Лагранжова теоремаУреди

Ако је дата подгрупа   и неко   из  , дефинишемо леви косет  . Како је   инверзибилно, пресликавање   дефинисано као   је бијекција. Штавише, сваки елемент из   се налази у тачно једном левом косету од  ; леви косети су класе еквиваленције у односу на релацију еквиваленције   ако и само ако је   у  . Број левих косета   се назива индексом   у  , и означава се са  .

Лагранжова теорема гласи да за коначну групу   и њену подгрупу  ,

 

где   и   означавају редове   и  . Ред сваке подгрупе   (и ред сваког елемента  ) обавезно дели  .

Десни косети су дефинисани аналогно:  . Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак  .

Ако је   за свако   из  , тада се каже да је   нормална подгрупа. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић. pp. 30; приступљено: 1. септембар 2015.

Спољашње везеУреди