Нормална подгрупа

У апстрактној алгебри, области математике, нормална подгрупа је посебна врста подгрупе. Нормалне подгрупе су важне зато што се користе у конструкцији количничких група из дате групе.

Еварист Галоа је први схватио важност и постојање нормалних подгрупа.

Дефиниције

Подгрупа N групе G се назива нормалном подгрупом ако је инваријантна у односу на конјугацију; то јест, за сваки елемент n из N и свако g из G, елемент gng⁻¹ је и даље у N. Пишемо

N\triangleleft G.

Следећи услови су еквивалентни услови како би подгрупа N била нормална у G. Било који од њих се може узети као дефиниција:

За све g из G, gNg⁻¹ ⊆ N.
За све g из G, gNg⁻¹ = N.
Скупови левих и десних косета N у G коинцидирају.
За свако g из G, gN = Ng.
N је унија класа конјугације G.
Постоји хомоморфизам на G за који је N језгро.

Треба имати у виду да је услов (1) логички слабији од услова (2), а услов (3) је логички слабији од услова (4). Због овога, услови (1) и (3) се обично користе да докажу да је N нормална у G, а услови (2) и (4) се користе да докажу последице нормалности N у G.

Примери

{e} и G су увек нормалне подгрупе од G. Ако су ово и једине нормалне подгрупе, онда се каже да је G проста.
Центар групе је нормална подгрупа.
Комутаторна подгрупа је нормална подгрупа.
Општије, свака карактеристична подгрупа је нормална, јер је конјугација увек аутоморфизам.
Све подгрупе N Абелове групе G су нормалне, јер gN = Ng. Група која није Абелова, али чија је свака подгрупа нормална се назива Хамилтоновом групом.
Транслациона група у било којој димензији је нормална подгрупа Еуклидове групе; на пример тродимензионална ротација, транслација и ротација назад су исти као проста транслација; такође, рефлексија, транслација и поновна рефлексија су исти као проста транслација (транслација виђена у огледалу изгледа као транслација са рефлектованим транслационим вектором). Транслације за дату раздаљину у било ком смеру формирају класу конјугације; транслациона група је њихова унија за све раздаљине.

Својства

Нормалност је очувана у сурјективним хомоморфизмима, као и у инверзним сликама.
Нормалност је очувана у директним производима
Нормална подгрупа нормалне подгрупе дате групе не мора да буде нормална у групи. То јест, нормалност није транзитивна релација. Међутим, карактеристична подгрупа нормалне подгрупе је нормална. Такође, нормална подгрупа централног фактора је нормална. Специјално, нормална подгрупа директног фактора је нормална.
Свака подгрупа индекса 2 је нормална. Општије, подгрупа H коначног индекса n у G садржи подгрупу K нормалну у G чији индекс дели n!. Ако је p најмањи прост делилац реда од G, тада је свака подгрупа индекса p нормална.

Нормалне подгрупе и хомоморфизми

Нормалне подгрупе су значајне, јер ако је N нормална, тада се може формирати количничка група G/N: ако је N нормално, можемо да дефинишемо множење на косетима као

(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N

Ово претвара скуп косета у групу која се назива количничком групом G/N. Постоји природни хомоморфизам f : G → G/N дефинисан као f(a) = aN. Слика f(N) се састоји само од неутрала G/N, косет eN = N.

Уопштено, хомоморфизам група f: G → H слика подгрупе од G у подгрупе од H. Такође, пре-слика сваке подгрупе од H је подгрупа од G. Пре-слику тривијалне групе {e} из H називамо језгром (кернелом) хомоморфизма и означавамо га као ker(f). Испоставља се да је језгро увек нормално, и да је слика f(G) од G увек изоморфна са G/ker(f) (прва теорема о изоморфизму). У ствари, ова кореспонденција је бијекција између скупа свих количничких група G/N од G и скупа свих хомоморфних слика од G (до на изоморфизам). Лако се покаже да је језгро количничког пресликавања, f: G → G/N, само N, па су нормалне подгрупе језгра хомоморфизама са доменом G.

Литература

I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.
David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. xiv+658 pp. ISBN 978-0-13-004771-7.