Normalna podgrupa

U apstraktnoj algebri, oblasti matematike, normalna podgrupa je posebna vrsta podgrupe. Normalne podgrupe su važne zato što se koriste u konstrukciji količničkih grupa iz date grupe.

Evarist Galoa je prvi shvatio važnost i postojanje normalnih podgrupa.

Definicije

Podgrupa N grupe G se naziva normalnom podgrupom ako je invarijantna u odnosu na konjugaciju; to jest, za svaki element n iz N i svako g iz G, element gng⁻¹ je i dalje u N. Pišemo

N\triangleleft G.

Sledeći uslovi su ekvivalentni uslovi kako bi podgrupa N bila normalna u G. Bilo koji od njih se može uzeti kao definicija:

Za sve g iz G, gNg⁻¹ ⊆ N.
Za sve g iz G, gNg⁻¹ = N.
Skupovi levih i desnih koseta N u G koincidiraju.
Za svako g iz G, gN = Ng.
N je unija klasa konjugacije G.
Postoji homomorfizam na G za koji je N jezgro.

Treba imati u vidu da je uslov (1) logički slabiji od uslova (2), a uslov (3) je logički slabiji od uslova (4). Zbog ovoga, uslovi (1) i (3) se obično koriste da dokažu da je N normalna u G, a uslovi (2) i (4) se koriste da dokažu posledice normalnosti N u G.

Primeri

{e} i G su uvek normalne podgrupe od G. Ako su ovo i jedine normalne podgrupe, onda se kaže da je G prosta.
Centar grupe je normalna podgrupa.
Komutatorna podgrupa je normalna podgrupa.
Opštije, svaka karakteristična podgrupa je normalna, jer je konjugacija uvek automorfizam.
Sve podgrupe N Abelove grupe G su normalne, jer gN = Ng. Grupa koja nije Abelova, ali čija je svaka podgrupa normalna se naziva Hamiltonovom grupom.
Translaciona grupa u bilo kojoj dimenziji je normalna podgrupa Euklidove grupe; na primer trodimenzionalna rotacija, translacija i rotacija nazad su isti kao prosta translacija; takođe, refleksija, translacija i ponovna refleksija su isti kao prosta translacija (translacija viđena u ogledalu izgleda kao translacija sa reflektovanim translacionim vektorom). Translacije za datu razdaljinu u bilo kom smeru formiraju klasu konjugacije; translaciona grupa je njihova unija za sve razdaljine.

Svojstva

Normalnost je očuvana u surjektivnim homomorfizmima, kao i u inverznim slikama.
Normalnost je očuvana u direktnim proizvodima
Normalna podgrupa normalne podgrupe date grupe ne mora da bude normalna u grupi. To jest, normalnost nije tranzitivna relacija. Međutim, karakteristična podgrupa normalne podgrupe je normalna. Takođe, normalna podgrupa centralnog faktora je normalna. Specijalno, normalna podgrupa direktnog faktora je normalna.
Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna. Opštije, podgrupa H konačnog indeksa n u G sadrži podgrupu K normalnu u G čiji indeks deli n!. Ako je p najmanji prost delilac reda od G, tada je svaka podgrupa indeksa p normalna.

Normalne podgrupe i homomorfizmi

Normalne podgrupe su značajne, jer ako je N normalna, tada se može formirati količnička grupa G/N: ako je N normalno, možemo da definišemo množenje na kosetima kao

(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N

Ovo pretvara skup koseta u grupu koja se naziva količničkom grupom G/N. Postoji prirodni homomorfizam f : G → G/N definisan kao f(a) = aN. Slika f(N) se sastoji samo od neutrala G/N, koset eN = N.

Uopšteno, homomorfizam grupa f: G → H slika podgrupe od G u podgrupe od H. Takođe, pre-slika svake podgrupe od H je podgrupa od G. Pre-sliku trivijalne grupe {e} iz H nazivamo jezgrom (kernelom) homomorfizma i označavamo ga kao ker(f). Ispostavlja se da je jezgro uvek normalno, i da je slika f(G) od G uvek izomorfna sa G/ker(f) (prva teorema o izomorfizmu). U stvari, ova korespondencija je bijekcija između skupa svih količničkih grupa G/N od G i skupa svih homomorfnih slika od G (do na izomorfizam). Lako se pokaže da je jezgro količničkog preslikavanja, f: G → G/N, samo N, pa su normalne podgrupe jezgra homomorfizama sa domenom G.

Literatura

I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.
David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1991. xiv+658 pp. ISBN 978-0-13-004771-7.