Ангерова функција

Ангерова функција $\mathbf {J} _{\nu }(z)$ представља решење нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=(z-\nu )\sin(\pi z)/\pi

Именована је у част немачкога математичара Карла Теодора Ангера, који је 1855. први увео Ангерову функцију.

Облик уреди

Ангерова функција је облика:

\mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta

Ангерова функција је блиско повезана са Беселовим функцијама.

Веберова функција $\mathbf {E} _{\nu }(z)$ представља решење сличне нехомогене Беселове диференцијалне једначине:

z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-((z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z))/\pi .

Веберова функција је облика:

\mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta

Између Ангерове и Веберове функције постоји веза:

\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z)

-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z)

У случају да је $\nu$ цели број тада Ангерова функција постаје једнака Беселовој функцији, а Веберова функција као комбинација Струвеових функција.

Струвеове функције целобројнога реда могу да се прикажу помоћу Веберових функција E_n и обратно. Ако је n ненегативни цели број онда је:

\mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}

\mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ур. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 978-0486612720.
Korn, G. A.; Korn, T. M. (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw-Hill.