Последња Фермаова теорема

Фермаова последња теорема (позната и као Фермаова велика теорема) је једна од најпознатијих теорема у историји математике. Она тврди да:

Не постоје позитивни цели бројеви a, b, и c такви да $a^{n}+b^{n}=c^{n}\;$ где је n природан број већи од 2.

Пјер де Ферма

Диофантова Аритметика, превод са грчког на латински из 1621. године. На десној страни се види маргина на којој Ферма „није стигао да запише свој предивни доказ“

Математичар из 17. века Пјер де Ферма је писао о овој теореми 1637. године у својој копији Клод-Гаспар Башетовог превода познате Диофантове Аритметике: „Открио сам заиста невероватан доказ ове теореме који не може да стане на маргину ове стране“. (Оригинал латински: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.") Без обзира на то, ниједан коректан доказ није пронађен следећих 357 година.

Ова тврдња је значајна јер су све друге Фермаове теореме биле утемељене, било помоћу доказа које је он дао, или помоћу доказа који су пронађени касније. Теорема није последња коју је Ферма дао, него последња која треба бити доказана. Теорема се уопштено сматра математичком поставком која је испровоцирала највећи број нетачних математичких доказа.

Математички контекст

Последња Фермаова теорема је уопштење Диофантове једначине a² + b² = c², која је повезана са Питагорином теоремом. Стари Грци и Вавилонци су знали да ова једначина има решења, као што су (3,4,5) (3² + 4² = 5²) или (5,12,13). Ова решења су позната као Питагорејске тројке.

Док теорема сама по себи нема директну употребу (не користи се као доказ ни у једној другој теореми), показано је да је повезана са другим математичким темама.

Рана историја

Теорему треба доказати за n=4 и за случај када је n прост број. Доказано је још давно да теорема важи за неке специјалне случајеве n, али општи случај је остао недокучив.

Сам Ферма је доказао случај n=4, док је Ојлер доказао теорему за n=3. Случај n=5 су доказали Дирихле и Лежандр 1825. године, а случај n=7 Габријел Ламе 1839. године.

Герд Фалтингс је 1983. године доказао Морделову претпоставку да за свако n > 2 постоји коначно много узајамно простих бројева a, b и c таквих да важи aⁿ + bⁿ = cⁿ.

Доказ

Користећи софистициране алате алгебарске геометрије (посебно елиптичне криве и модуларне форме), теорију Галоа и Хеке алгебре, енглески математичар Ендру Вајлс (Andrew Wiles), са Универзитета Принстон, уз помоћ свог бившег студента Ричарда Тејлора, је извео доказ Фермаове последње теореме и објавио је 1995. године у часопису Annals of Mathematics

Кен Рибет је 1986. године доказао Герхард Фрејеву епсилон претпоставку да сваки контрапример aⁿ + bⁿ = cⁿ последњој Фермаовој теореми води ка елиптичној кривој дефинисаној са:

$y^{2}=x\cdot (x-a^{n})\cdot (x+b^{n}),$

што даје контрапример претпоставци Танијама-Шимура.

Последња претпоставка нуди дубоку везу између елиптичних кривих и модуларних форми.

Вајлс и Тејлор су успели да докажу један посебан случај Танијама-Шимура претпоставке довољан да искључи такве контрапримере који настају из Фермаове последње теореме.

Прича о доказу је занимљива колико и мистерија која прати саму теорему. Вајлс је провео седам година разрађујући све детаље самостално у апсолутној тајности (сем завршне фазе прегледа за шта је замолио помоћ Ника Каца, колеге са Принстона). Када је објавио доказ на три предавања одржаним на Кембриџу 21-23. јуна 1993. године, запањио је слушаоце бројем идеја и конструкција у свом доказу. Нажалост, детаљнијом провером је пронађена озбиљна грешка која је оборила првобитан доказ. Вајлс и Тејлор су потом провели годину дана у тражењу новог пута ка доказу. Септембра 1994. је доказ поново објављен са донекле измењеним техникама у односу на оне које је Вајлс користио у првом покушају.

Да ли је Ферма заиста имао доказ?

Цитат на латинском:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratorum in duos quadratoquadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum patestatem in duos euisdem
nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exigitas non caperet.

(Немогуће је раздвојити куб на два куба, или
четврти степен на два четврта степена, или уопштено,
било који степен већи од два на иста таква два.
Открих уистину предиван доказ овога,
но не нађох на маргини места, те га не написах овде.)

Постоје значајне сумње у Фермаову изјаву „Открих уистину предиван доказ“. Вајлсов доказ је дугачак 200 страна и његово разумевање захтева знања ван домашаја многих математичара данас. Могуће је да постоји доказ који је значајно краћи и користи елементарније методе. Обично први докази нису ни најкраћи ни најдиректнији.

Методе које је Вајлс користио су биле непознате у Фермаово време, и многи верују да је мало вероватно да је Ферма успео да изведе све неопходне предуслове за извођење дотичног доказа. Према речима Ендруа Вајлса: „То је немогуће, ово је доказ 20. века“. Алтернатива је да постоји једноставнији доказ који су сви математичари до сада превидели или је Ферма погрешио.

Претпоставља се да је Ферма извео погрешан, али наизглед прихватљив, доказ. Изведен је из погрешне претпоставке да постоји јединствена факторизација у свим прстеновима са природним бројевима у пољима алгебарских бројева. Ово је прихватљиво објашњење за многе стручњаке у теорији бројева, на темељу тога што су и многи изузетни математичари из ове области следили сличан пут.

Чињеница да Ферма никад није објавио овај доказ, нити јавно објавио да га има, наводи да је касније размислио и једноставно занемарио личну белешку на маргинама књиге. Касније, током живота, Ферма је објавио доказ за случај

$a^{4}+b^{4}=c^{4}$.

Да је стварно дошао до доказа за општу теорему, мало је вероватно да би објављивао доказ само за посебан случај. Мада, академске конвенције његовог доба нису исте као и оне после половине 18. века. Стога се овај аргумент не може узети као коначан.

Фермаова последња теорема у фикцији

У епизоди "The Royale", серијала Звездане стазе: Следећа генерација, капетан Пикард наводи да теорема није решена 800 година. Вајлс је објавио доказ пет година по емитовању ове епизоде. Потом је у другом серијалу Звездане стазе: Дубоки свемир Девет у епизоди Facets из јуна 1995. године лик Џадзиа Дакс коментарише да је нешто најоригиналнији приступ доказивању још од Вајлса, пре 300 година. То фанови схватају као танану исправку претходној омашки. Појављује се у једној епизоди британске серије Доктор Ху.

Белешке

• Постоји бесконачно много природних бројева a, b, и c таквих да је $a^{n}+b^{n}=c^{n+1}\;$ где је n природан број.
• Ако n није прост број ни 4, он има бар један делилац који је мањи од n а већи од 2. Нека је p такав делилац, и нека је m једнако n/p. Сада можемо једначину написати као $(a^{m})^{p}+(b^{m})^{p}=(c^{m})^{p}$. Ако можемо доказати случај за степен p, степен n је једноставно подскуп претходног случаја.

Види још

• Ојлерова претпоставка
• Мала Фермаова теорема
• Софи Жермен прости бројеви
• Вол-Сун-Сун прости бројеви

Литература

• Aczel, Amir (30. 9. 1996). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-56858-077-7. 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis. New York: Chelsea Publishing. стр. 545—550, 615—621, 688—691, 731—776. 
• Edwards, HM (1997). Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50. New York: Springer-Verlag. 
• Friberg, Joran (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-270-452-8. 
• Kleiner, I. (2000). „From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem” (PDF). Elemente der Mathematik. 55: 19—37. doi:10.1007/PL00000079. Архивирано из оригинала (PDF) 13. 7. 2010. г. 
• Mordell, L. J. (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3. 
• Ribenboim, P. (2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4. 
• Singh, S. (октобар 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. 
• Stark, H. (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8. 
• Bell, Eric T. (6. 8. 1998) [1961]. The Last Problem. New York: The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-451-8. 
• Benson, Donald C. (5. 4. 2001). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8. 
• Brudner, Harvey J. (1994). Fermat and the Missing Numbers. WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3. 
• Edwards, H. M. (март 1996) [1977]. Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90230-2. 
• Faltings, G. (јул 1995). „The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 42 (7): 743—746. ISSN 0002-9920. 
• Mozzochi, Charles (7. 12. 2000). The Fermat Diary. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2670-6. 
• Ribenboim, P. (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0. 
• van der Poorten, Alf (6. 3. 1996). Notes on Fermat's Last Theorem. WileyBlackwell. ISBN 978-0-471-06261-5. 
• Saikia, Manjil P (јул 2011). „A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes” (PDF). IISER Mohali (India) Summer Project Report. Bibcode:2013arXiv1307.3459S. arXiv:1307.3459 . Архивирано из оригинала (PDF) 22. 9. 2015. г. Приступљено 9. 3. 2014. 
• Stevens, Glenn (1997). „An Overview of the Proof of Fermat's Last Theorem”. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. стр. 1—16. ISBN 0-387-94609-8. 

Спољашње везе

• Wiles, Andrew (1995). Модуларне елиптичне криве и Фермаова последња теорема Архивирано на сајту Wayback Machine (10. мај 2011), Annals of Mathematics (141) (3), 443-551.
• Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). Теоретске особине прстена извесних Хикових алгебри, Annals of Mathematics (141) (3), 553-572.
• Faltings, Gerd (1995). Доказ Фермаове последње теореме Р. Тејлор и A. Вилс, Notices of the AMS (42) (7), 743-746.
• Daney, Charles (2003). Математика Фермаове последње теореме. Пронађено 5, Авг. 2004.
• O'Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Фермаова последња теорема. Историја проблема. Пронађено 5, Авг. 2004.
• Shay, David (2003). Фермаова последња теорема. Прича, историја и мистерија Архивирано на сајту Wayback Machine (2. фебруар 2007). Пронађено 5, Авг. 2004.
• The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, by Donald C. Benson; Oxford University Press. 1999. ISBN 978-0-19-513919-8.. (меке корице)
• Jay Dillon, "Fermat's Last Theorem: Proof Based on Generalized Pythagorean Diagram," WSEAS Transactions on Mathematics, issue 3, volume 3 (July 2004). Ово је нови доказ, користи угнежђене Питагорине конструкције и извођење система једначина/кривих.
• Fermat's last theorem на сајту Енциклопедија Британика
• Daney, Charles (2003). „The Mathematics of Fermat's Last Theorem”. Архивирано из оригинала 3. 8. 2004. г. Приступљено 5. 8. 2004. 
• Elkies, Noam D. „Tables of Fermat "near-misses" – approximate solutions of xⁿ + yⁿ = zⁿ”. 
• Freeman, Larry (2005). „Fermat's Last Theorem Blog”.  Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
• Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Fermat's last theorem”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Ribet, Ken (1995). „Galois representations and modular forms”. arXiv:math/9503219 .  Discusses various material that is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
• Shay, David (2003). „Fermat's Last Theorem”. Приступљено 14. 1. 2017.  The story, the history and the mystery.
• Weisstein, Eric W. „Fermat's Last Theorem”. MathWorld. 
• O'Connor JJ, Robertson EF (1996). „Fermat's last theorem”. Архивирано из оригинала 4. 8. 2004. г. Приступљено 5. 8. 2004. 
• „The Proof”.  The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
• „Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)”.  Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.