Неодређени интеграл

У математичкој анализи неодређени интеграл неке функције $f$ јесте диференцијабилна функција $F$ чији је извод једнак оригиналној функцији $f$. Процес проналажења решења неогређеног интеграла назива се интеграција, и она је супротна од операције диференцирања, која је процес налажења извода неке функције.

Теоријски увод

Нека је $F$ произвољна примитивна функција функције $f$ на интервалу $(a,b)$, неодређени интеграл дефинише се као:

$$\int f(x)dx=F(x)+C,(C=const,a<x<b)$$

За примитивну функцију 𝐹(𝑥) функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼 важи:

• $d\int f(x)dx=f(x)dx$
• $(\int f(x)dx)\prime =f(x)$
• $\int dF(x)=F(x)+C,C\in R$

Дефиниција

За функцију $F:I\rightarrow \mathbb {R}$ се каже да је примитивна (првобитна) функција функције ${f}$ дефинисане на истом интервалу, ако важе следећи услови:

• Функција $F$ је непрекидна на интервалу $I$
• Функција $F$ у свакој унутрашњој тачки интервала $I$ има извод, и при том је: $F'(x)=f(x)$.

Скуп свих примитивних функција функције ${f}$ на интервалу $I$ назива се неодређени интеграл функције ${f}$ на интервалу $I$ и обележава са $\int f(x)\,dx$, где је ${f}$ подинтегрална функција, а $f(x)\,dx$ подинтегрални израз.

Теорема 1

Ако је $F$ примитивна функција функције ${f}$ на интервалу $I$, онда је и свака функција

$F+c$, где је c∈ $\mathbb {R}$ произвољна константа, примитивна функција за ${f}$ на интервалу $I$.

Доказ.

$(F(x)+c)'=F'(x)+c'=F'(x)=f(x)$

Ако функција $f$ има примитивну функцију на интервалу $I$, онда на том интервалу има бесконачно много примитивних функција. Фамилија функција $\{F(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ представља скуп свих примитивних функција за функцију ${f}$ на интервалу $I$, где је $F$ једна њена примитивна функција на интервалу $I$.

Теорема 2

Нека су $F$ и $G$ примитивне функције за ${f}$ на интервалу $I$, онда постоји реална константа с таква да важи $G(x)=F(x)+c$, x∈ $I$

Доказ. Дефинишимо функцију $r(x)=F(x)$ − $G(x)$ за x∈ $I$. Функције $F$ и $G$ су непрекидне на интервалу $I$ ⇒ функција $r$ је непрекидна (као разлика непрекидних функција)

$F$ и $G$

су диференцијабилне у $intI$ ⇒ функција $r$ је диференцијабилна у $intI$ (као разлика диференцијабилних функција), и при том важи:

$r'(x)=(F(x)$ − $G(x))'=$ $F'(x)$ − $G'(x)=f(x)$ −$f(x)=0$.

Како је извод функције $r$ једнак 0 у свакој тачки интервала $I$ ⇒ $r$ је константна функција на $I$, односно:

$(\exists c\in \mathbb {R} )(\forall x\in I)c=r(x),$ ⇒ $c=F(x)$ − $G(x)$,

те је $G(x)=F(x)+c$, c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$.

Теорема 3

Нека је функција $F$ непрекидна на интервалу $I$ и диференцијабилна у $intI$. Тада је : $\int dF(x)=F(x)+c,$ c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$.

Доказ.

$\int dF(x)=\int F'(x)\,dx=\int f(x)\,dx=F(x)+c,$ c∈ $\mathbb {R}$, x∈ $I$

Теорема 4

Нека функција $f$ има примитивну функцију на интервалу $I$. Тада у унутрашњим тачкама интервала $I$ важи:$d\int f(x)\,dx=f(x)\,dx,$.

Доказ.

$d\int f(x)\,dx=dF(x+c)=dF(x)=F'(x)\,dx=f(x)\,dx,$.

Теорема 5

Нека функције $f_{1}$ и $f_{2}$ имају примитивне функције $F_{1}$ и $F_{1}$, редом, на интервалу $I$. Тада функција $f_{1}+f_{2}$ има примитивну функцију $F_{1}+F_{2}$ на $I$, и важи:

$\int (f_{1}(x)+f_{2}(x))\,dx=\int f_{1}(x)\,dx+\int f_{2}(x)\,dx$

Доказ

$F_{1}$ и $F_{2}$ примитивне функције за $f_{1}$ и $f_{2}$ на интервалу $I$ ⇒ $F_{1}$ и $F_{1}$ су непрекидне на $I$ и диференцијаблине на $intI$ ⇒ Функција $F_{1}+F_{2}$ је непрекидна на интервалу $I$ и диференцијабилна на $intI$. При том, важи: $(F_{1}(x)+F_{2}(x))'=F'_{1}(x)+F'_{2}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$

⇒ функција $f_{1}+f_{2}$ има примитивну функцију $F_{1}+F_{2}$ на $I$.

$\int f_{1}(x)\,dx=F_{1}(x)+c_{1}$ и $\int f_{2}(x)\,dx=F_{2}(x)+c_{2}$, $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$

⇒ $\int f_{1}(x)\,dx+\int f_{2}(x)\,dx=F_{1}(x)+c_{1}+F_{2}(x)+c_{2}$,$c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$. Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

$\{F_{1}(x)+F_{2}(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ = $\{F_{1}(x)+F_{2}(x)+c_{1}+c_{2}|c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}\,$,
а она очигледно важи јер $c_{1}+c_{2}\in \mathbb {R}$.

Теорема 6

Нека функција $f$ има примитивну функцију $F$ на интервалу $I$ и нека је $k\in \mathbb {R}$. Тада функција $kf$ има примитивну функцију на $I$, и још ако је k≠0, важи: $\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$.

Доказ.

$F$ је примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, што значи да је непрекидна на $I$, диференцијабилна на унутрашњости интервала $I$ и важи: $F'(x)=f(x)$. Дакле, следи да је и функција $kF$ непрекидна и важи: $(kF)'(x)=kF'(x)=kf(x)$, $x\in \mathbb {R}$. ⇒ $kF$ је примитивна фукнција функције $kf$ на интервалу $I$.

Нека је k≠0. Тада:
$\int kf(x)\,dx=kF(x)+c$, $c\in \mathbb {R}$,

$k\int f(x)\,dx=k(F(x)+c_{1})=kF(x)+kc_{1}$, $c_{1}\in \mathbb {R}$.

Једнакост из поставке теореме ће важити ако важи скуповна једнакост:

$\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ = $\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$

Заиста,

$\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$ ⊆ $\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ јер је $kc_{1}\in \mathbb {R}$

$\{kF(x)+c|c\in \mathbb {R} \}\,$ ⊆ $\{kF(x)+kc_{1}|c_{1}\in \mathbb {R} \}\,$ јер је $c=k{\frac {c}{k}}=kc_{1}\in \mathbb {R}$, k≠0.

Ако је k=0:

$\int kf(x)\,dx=\int 0\,dx=0+c=c$, $c\in \mathbb {R}$,

$k\int f(x)\,dx=0(F(x)+c_{1})=0$, $c_{1}\in \mathbb {R}$.

⇒ нису једнаки за k=0.

Теорема 7.

Нека функција $f$ има примитивну фукнцију $F$ на интервалу $I$. Тада је функција ${\frac {1}{a}}F(ax+b)$ примитивна функција фукције $f(ax+b)$ на $I$, $a,b\in \mathbb {R}$, и важи: $\int f(ax+b)\,dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)+c$, $c\in \mathbb {R}$.

Доказ.

$F$ је примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$ ⇒ $F'(x)=f(x)$ , $x\in intI$

⇒ $({\frac {1}{a}}F(ax+b))'={\frac {1}{a}}(F(ax+b))'(ax+b)'={\frac {1}{a}}f(ax+b)a=f(ax+b)$ ⇒ ${\frac {1}{a}}F(ax+b)$ је примитивна функција функције $f(ax+b)$ на посматраном интервалу.

Ово тврђење је корисно, јер олакшава решавање многих интеграла. Примери:

$\int (2x+3)^{7}\,dx={\frac {1}{2}}{\frac {(2x+3)^{8}}{8}}+c$

$\int cos(2x+3)\,dx={\frac {1}{2}}sin(2x+3)+c$

Методи интеграције

Налажење неодређених интеграла елементарних функција је често много теже него налажење извода тих функицја.

Зато постоје многе методе и начини за проналажење интеграла, као што су:

• Линеарност интеграла
• Смена променљиве
• Метод парцијалне интеграције
• Свођење квадратног тринома на канонски облик
• Метода неодређених коефицијената
• Интеграција помоћу рекурентних формула
• Итеграција рационалних функција
• Интеграција тригонометријских функција

Литература

• М. Рашајски, Б. Малешевић, Т. Лутовац, Б. Михаиловић, Н. Цакић: Линеарна алгебра, Универзитет у Београду - Електротехнички факултет и Академска мисао, Београд. ISBN: 978-86-7466-680-7
• Милан Меркле, Математичка анализа -теорија и хиљаду задатака-за студенте технике, треће измењено и допуњено издање, Академска мисао 2015.
• Цветковић Д., Лацковић И., Меркле М., Радосављевић З., Симић С., Васић П., Математика 1 – Алгебра, IX издање, Академска мисао, Београд, 2006.
• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

Спољашње везе

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web Архивирано на сајту Wayback Machine (1. мај 2020) — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral at HyperPhysics
• Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
• Integral calculator at Symbolab
• The Antiderivative at MIT
• Introduction to Integrals at SparkNotes
• Antiderivatives at Harvy Mudd College