Тензор

Тензор (грч. tensio што значи напрезање) је вектор одређеног векторског простора и као математичка структура представља уопштење вектора. Тензорске величине су физичке величине чија вредност зависи и од координате. Оне се математички представљају матрицом.

Тензор је физичка величина која је повезана са еластичним, деформабилним особинама супстанци. Тензорским величинама се описују векторске величине у анизотропној средини, као што је средина код некубичних кристала. Тензорске величине су момент инерције, топлотна проводљивост, електрична проводљивост, дифузиони коефицијент, индекс преламања и друге.

Тензорски рачун је област математике у којој се проучавају тензори и операције с њима. Тензорски рачун обухвата тензорску алгебру и тензорску анализу. Примењује се у геометрији, теоријској физици, механици и примењеној механици. Због своје просте симболике ушао је као апарат у низ савремених техничких дисциплина.

Историјски преглед

Реч тензор је 1846. године увео Вилијам Роуан Хамилтон и њиме је описао норму операције у Клифордовој алгебри.

Дефиниција

Формална дефиниција:

Тензор $(m,n)$ у векторском простору $V$ над пољем $F$ је линеарно пресликавање $V\otimes ...\otimes V\otimes V^{*}\otimes ...\otimes V^{*}\longmapsto F$ које за домен узима производ векторског простора $V$ $m$ пута и $n$ пута производ његовог дуалног векторског простора $V^{*}$. Простор свих тензора степена $(m,n)$ је $T_{n}^{m}(V)$.

Дефиниција тензора при трансформацији полилинеарног функционала из једног у други базис.

Тензор $(p,q)$ је полилинеарни функционал $\sum _{k,m,...}\sum _{t,u,...}\tau _{i}^{k}\tau _{j}^{m}\dots \sigma _{t}^{r}\sigma _{u}^{s}\dots a_{km...}^{tu...}$ задат системом од $n^{p+q}$ бројева, где су $\tau _{j}^{i}$ и $\sigma _{j}^{i}$ елементи матрица преласка $\mathbb {S}$ и $\mathbb {T}$ из биортогоналних базиса у нове базисе под условом да важи $\mathbb {S} ={\mathbb {T} }^{-1}$.

Примери

• Тензор са са само једном компонентом је скалар и представља тензор ранга 0. Скалар је исти у свим базисима.

Спољашње везе

• Тензор