1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

У математици, бесконачни низ 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · је једноставан пример наизменичног низа који конвергира апсолутно.

„Halfminusquarter“. Под лиценцом CC BY 3.0 са сајта Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/File:Halfminusquarter.png#/media/File:Halfminusquarter.png

То је геометријски низ чији је први термин 1/2 и чији је количник -1/2, тако да му је збир

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

Хакенбуш и суреалс

Демонстрација  2/3 игром нула-вредности

Благо преуређење низа чита

$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.$

Серија има облик позитивног целог броја, плус низ који садржи све негативне снаге два са било позитивним или негативним предзнаком, тако да може да се преведе у бескрајни плаво-црвени Хакенбуш стринг који представља надреални број 1/3:

ЛРРЛРЛР… = 1/3.

Нешто једноставнији Хакенбушев низ елиминише понављање Р:

ЛРЛРЛРЛ… = 2/3.

Што се тиче Хакенбушеве игре структуре, ова једначина значи да одбор приказан на десној страни има вредност 0; који год играч помера други има добитну стратегију.

Повезани редови

• Изјава да је 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · апсолутно конвергентан значи да је низ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · конвергентан. У ствари, овај други ред конвергира у 1, и доказује да је један од бинарних експанзија 1 0.111 ....
• Упаривање до услова низа 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · резултира у другом геометријском низу са истом сумом, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1 / 256 · · ·. Овај низ је један од првих који се сумира у историји математике; коришћен је од стране Архимеда у 250-200 п. н. е.
• Еулер трансформација дивергентног низа 1 - 2 + 4 - 8 + · · · је 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · . Стога, иако прошли низ нема суму у уобичајеном смислу, он је Еулер сумирање до 1/3.

Литература

• Elwyn Berlekamp; John Horton Conway; Richard K. Guy (1982). Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press. ISBN 978-0-12-091101-1. 
• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 978-3-540-21058-0. 
• Shawyer, Bruce & Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 978-0-19-853585-0.