Algebarski varijeteti

Algebarski varijeteti su centralni objekti izučavanja u algebarskoj geometriji. Klasično, algebarski varijetet je definisan kao skup rešenja sistema polinomskih jednačina nad realnim ili kompleksnim brojevima. Savremene definicije generališu ovaj koncept na nekoliko različitih načina, pokušavajući da sačuvaju geometrijsku intuiciju iza prvobitne definicije.[1]:58

Upleteni kubni objekat je projektivni algebarski varijetet.

Konvencije o definiciji algebarskog varijeteta neznatno se razlikuju. Na primer, neke definicije zahtevaju da je algebarski varijetet nereduktivan, što znači da nije unija dva manja skupa koja su zatvorena u Zariskovoj topologiji. Pod ovom definicijom, algebarski varijeteti koji se mogu redukovati nazivaju se algebarske grupe. Druge konvencije ne zahtevaju nereduktivnost.

Fundamentalna teorema algebre uspostavlja vezu između algebre i geometrije, pokazujući da je monski polinom (algebarski objekat) u jednoj promenljivoj sa kompleksnim brojevima kao koeficijenatima određen setom njegovih korena (geometrijski objekt) u kompleksnoj ravni. Generalizirajući ovaj rezultat, Hilbertova teorema nula daje fundamentalnu korespondenciju između ideala polinomskih prstenova i algebarskih skupova. Koristeći teoremu nula i srodne rezultate, matematičari su uspostavili čvrstu korespondenciju između pitanja o algebarskim skupovima i pitanja teorije prstena. Ova korespondencija je definišuća karakteristika algebarske geometrije.

Mnogi algebarski varijeteti su mnogostrukosti, ali algebarski varijetet može da ima singularne tačke dok mnogostrukost ne može. Algebarski varijeteti se mogu karakterisati njihovom dimenzijom. Algebarski varijeteti dimenzije jedan se nazivaju algebarskim krivama, a algebarski varijeteti dimenzije dva se nazivaju algebarskim površima.

ReferenceУреди

  1. ^ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. 

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди