Функција индикатор

У математици, функција индикатор или карактеристична функција је функција дефинисана на скупу $X$, која означава припадност елемента подскупу $A$ од $X$.

График функције индикатора дводимензионог скупа.

Индикатор функција подскупа $A$ скупа $X$ је функција

$\mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace \,$

дефинисана као

$\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ako}}\ x\in A,\\0&{\mbox{ako}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.$

Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: $[x\in A]$.

Напомене о нотацији и терминологији

• Нотација $\mathbf {1} _{A}$ може да означава функцију идентитета.
• Нотација $\chi _{A}$ може да означава карактерисичну функцију у конвексној анализи.

Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.

Основна својства

Пресликавање које повезује подскуп $A$ скупа $X$ са својом функцијом индикатором $\mathbf {1} _{A}$ је инјективно.

У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. "$\cap$" и "$\cup$" су пресек и унија.

Ако су $A$ и $B$ два подскупа од $X$, онда

$\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\,$

$\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},$

а комплемент функције индикатора за A, тј. A^C је:

$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$

Општије, претпоставимо да је $A_{1},\ldots ,A_{n}$ колекција подскупова од $X$. За свако $x\in X$,

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$

је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност $1$ тачно за оне $x\in X$ који не припадају ни једном од скупова $A_{k}$, а има вредност $0$ иначе. То јест

$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$

Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,

$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$

где је $|F|$ кардиналност од $F$. Ово је један облик принципа укључења-искључења.

Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као средство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је $X$ простор вероватноће са мером вероватноће $\mathbb {P}$ и $A$ је мерљиви скуп, онда $\mathbf {1} _{A}$ постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи $A:$

$E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).\quad$

Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.

Литература

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
• Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
• Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
• George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
• Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
• Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174