U teoriji verovatnoće, prostor verovatnoće ili triplet verovatnoće je matematička konstrukcija kojom se modeluju procesi stvarnog sveta (ili „eksperimenti”) koji se sastoje od stanja koja se slučajno javljaju. Prostor verovatnoće je konstruisan sa određenom vrstom situacije ili eksperimenta na umu. Smatra se da svaki put kada se pojavi takva vrsta, skup mogućih ishoda je isti i da su verovatnoće iste.

Prostor verovatnoće sastoji se od tri dela:[1][2]

  1. Prostor uzoraka, , koji je skup svih mogućih ishoda.
  2. Skup događaja , gde je svaki događaj skup koji sadrži nula ili više ishoda.
  3. Dodela verovatnoća događajima; to jest, funkcija od događaja do verovatnoće.

Ishod je rezultat pojedinačnog izvršenja modela. Budući da pojedinačni ishodi mogu biti od malo praktične koristi, primenjuju se složeniji događaji za karakterizaciju grupa ishoda. Kolekcija svih takvih događaja je σ-algebra . Na kraju, postoji potreba da se precizira verovatnoća da se svaki događaj dogodi. To se vrši pomoću funkcije mere verovatnoće, .

Nakon što se utvrdi prostor verovatnoće, pretpostavlja se da „priroda” odabira pojedinačan ishod, , iz prostora uzorka . Za sve događaje u koji sadrže odabrani ishod (treba imati u vidu da je svaki događaj podskup od ) se kaže da su se „dogodili”. Selekcija koju vrši priroda odvija se na takav način da ako bi se eksperiment ponavljao beskonačno mnogo puta, relativne učestalosti pojavljivanja svakog od događaja bi se poklopile sa verovatnoćama koje je propisala funkcija .

Ruski matematičar Andrej Kolmogorov je uveo pojam prostora verovatnoće, zajedno sa drugim aksiomima verovatnoće, tokom 1930-ih.[3][4][5][6] Danas postoje alternativni pristupi za aksiomatizaciju teorije verovatnoće, npr. algebra slučajnih promenljivih.[7]

Ovaj se članak bavi matematikom manipulisanja verovatnoćama. U članku „interpretacije verovatnoće” opisano je nekoliko alternativnih pogleda na to šta „verovatnoća” znači i kako to treba tumačiti. Pored toga, bilo je pokušaja da se konstruišu teorije za količine koje su notaciono slične verovatnoći, ali ne poštuju sva njena pravila; videti, na primer, slobodnu verovatnoću, rasplinutu logiku, teoriju mogućnosti, negativnu verovatnoću i kvantnu verovatnoću.[8][9]

Definicija уреди

Ukratko, prostor verovatnoće je prostor mere tako da je mera celog prostora jednaka jedinici.

Proširena definicija je sledeće: prostor verovatnoće je triplet   koji se sastoji od:

  • prostor uzorka   - proizvoljni neprazni skup,[10][11]
  • σ-algebra   (koja se takođe naziva σ-polje) - skup podskupova od  ,[12][13][14] koji se nazivaju događaji,[15][16][17] tako da:
    •   sadrži prostor uzoraka:  ,
    •   je zatvoren pod komplementima: ako je  , onda je takođe  ,
    •   je zatvoren pod prebrojivim unijama: ako je   za  , tada je isto tako  
      • Zaključak iz prethodna dva svojstva i De Morganovih zakona[18][19][20] je da je   takođe zatvoren pod prebrojivim presecima: ako je   za  , onda je takođe  
  • mera verovatnoće   — funkcija na   takva da:
    • P je prebrojivo aditivna[21] (takođe zvana σ-aditivna): ako   je prebrojiva kolekcija uparenih nepresecajućih skupova,[22][23] onda je  
    • mera celokupnog prostora uzoraka je jednaka jedan:  .

Reference уреди

  1. ^ Loève, Michel. Probability Theory, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.
  2. ^ Stroock, D. W. (1999). Probability theory: an analytic view. Cambridge University Press.
  3. ^ Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability. New York, USA: Chelsea Publishing Company. 
  4. ^ Aldous, David. „What is the significance of the Kolmogorov axioms?”. David Aldous. Приступљено 19. 11. 2019. 
  5. ^ Cox, R. T. (1946). „Probability, Frequency and Reasonable Expectation”. American Journal of Physics. 14 (1): 1—10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764. 
  6. ^ Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. 
  7. ^ Hernandez, Hugo (2016). „Modelling the effect of fluctuation in nonlinear systems using variance algebra - Application to light scattering of ideal gases”. ForsChem Research Reports (на језику: енглески). 2016-1. doi:10.13140/rg.2.2.36501.52969. 
  8. ^ Deutsch, David (8. 8. 1999). „Quantum Theory of Probability and Decisions”. Proceedings of the Royal Society A. 455 (1988): 3129—3137. S2CID 5217034. arXiv:quant-ph/9906015 . doi:10.1098/rspa.1999.0443. Приступљено 5. 12. 2022. 
  9. ^ Greaves, Hilary (21. 12. 2006). „Probability in the Everett Interpretation”. Philosophy Compass. 2 (1): 109—128. doi:10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x. Архивирано из оригинала 06. 12. 2022. г. Приступљено 6. 12. 2022. 
  10. ^ Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11. 
  11. ^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X. 
  12. ^ „Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes”. Random. University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Приступљено 30. 3. 2016. 
  13. ^ Billingsley, Patrick (2012). Probability and Measure (Anniversary изд.). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2. 
  14. ^ Rudin, Walter (1987). Real & Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. 
  15. ^ Leon-Garcia, Alberto (2008). Probability, statistics and random processes for electrical engineering. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221. 
  16. ^ Pfeiffer, Paul E. (1978). Concepts of probability theory. Dover Publications. стр. 18. ISBN 978-0-486-63677-1. 
  17. ^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and trigonometry: Functions and applications, Teacher's edition (Classics изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 634. ISBN 0-13-165711-9. 
  18. ^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth. Introduction to Logic. doi:10.4324/9781315510897. 
  19. ^ Hurley, Patrick J. (2015), A Concise Introduction to Logic (12th изд.), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1 
  20. ^ Moore, Brooke Noel (2012). Critical thinking. Richard Parker (10th изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC 689858599. 
  21. ^ Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983). Theory of charges: a study of finitely additive measures. London: Academic Press. стр. 35. ISBN 0-12-095780-9. OCLC 21196971. 
  22. ^ Halmos, P. R. (1960), Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, стр. 15, ISBN 9780387900926 .
  23. ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2010), A Transition to Advanced Mathematics, Cengage Learning, стр. 95, ISBN 978-0-495-56202-3 .

Literatura уреди

Spoljašnje veze уреди