Празан скуп

У математици, и њеној области теорији скупова, празан скуп је јединствен скуп који не садржи елементе. У аксиоматској теорији скупова, постојање празног скупа је постулирано аксиомом празног скупа.

Празан скуп је скуп који не садржи елементе.

Разна својства скупова тривијално важе за празан скуп.

НотацијаУреди

Празан скп се означава симболом   или  , што долази од слова Ø из данског и норвешког алфабета. Симбол је увео Бурбаки (Андре Вајл) 1939. године[1]. Још једна уобичајена нотација за празан скуп је {}.

СвојстваУреди

  • За сваки скуп A, празан скуп је подскуп од A:
    A: ∅ ⊆ A
  • За сваки скуп A, унија A и празног скупа је једнака A:
    A: A ∪ ∅ = A
  • За сваки скуп A, пресек A са празним скупом је празан скуп:
    A: A ∩ ∅ = ∅
  • За сваки скуп A, Декартов производ A и празног скупа је празан:
    A: A × ∅ = ∅
  • Једини подскуп празног скупа је сам празан скуп:
    A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
  • Број елемената празног скупа (то јест његова кардиналност) је нула; празан скуп је коначан скуп:
    |∅| = 0
  • За свако својство:
    • за сваки елемент ∅ својство важи
    • не постоји елемент ∅ за који својство важи
  • Обрнуто: ако за неко својство следећа два тврђења важе:
    • за сваки елемент V својство важи
    • не постоји елемент V за који својство важи
онда V = ∅

У теорији скупова, два скупа су једнака ако имају исте елементе; стога може да постоји само један празан скуп.

Ако се посматра као подскуп реалне бројевне праве (или општије било ког тополошког простора), празан скуп је и затворен и отворен. Све његове граничне тачке (којих нема) су унутар празног скупа, и стога је он затворен; док за сваку његову тачку (којих нема), постоји отворена околина у празном скупу, и скуп је стога отворен.

ИзвориУреди