Простор вероватноће

У теорији вероватноће, простор вероватноће или триплет вероватноће $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ је математичка конструкција којом се моделују процеси стварног света (или „експерименти”) који се састоје од стања која се случајно јављају. Простор вероватноће је конструисан са одређеном врстом ситуације или експеримента на уму. Сматра се да сваки пут када се појави таква врста, скуп могућих исхода је исти и да су вероватноће исте.

Простор вероватноће састоји се од три дела:

1. Простор узорака, $\Omega$, који је скуп свих могућих исхода.
2. Скуп догађаја ${\mathcal {F}}$, где је сваки догађај скуп који садржи нула или више исхода.
3. Додела вероватноћа догађајима; то јест, функција $P$ од догађаја до вероватноће.

Исход је резултат појединачног извршења модела. Будући да појединачни исходи могу бити од мало практичне користи, примењују се сложенији догађаји за карактеризацију група исхода. Колекција свих таквих догађаја је σ-алгебра ${\mathcal {F}}$. На крају, постоји потреба да се прецизира вероватноћа да се сваки догађај догоди. То се врши помоћу функције мере вероватноће, $P$.

Након што се утврди простор вероватноће, претпоставља се да „природа” одабира појединачан исход, $\omega$, из простора узорка $\Omega$. За све догађаје у ${\mathcal {F}}$ који садрже одабрани исход $\omega$ (треба имати у виду да је сваки догађај подскуп од $\Omega$) се каже да су се „догодили”. Селекција коју врши природа одвија се на такав начин да ако би се експеримент понављао бесконачно много пута, релативне учесталости појављивања сваког од догађаја би се поклопиле са вероватноћама које је прописала функција $P$.

Руски математичар Андреј Колмогоров је увео појам простора вероватноће, заједно са другим аксиомима вероватноће, током 1930-их. Данас постоје алтернативни приступи за аксиоматизацију теорије вероватноће, нпр. алгебра случајних променљивих.

Овај се чланак бави математиком манипулисања вероватноћама. У чланку „интерпретације вероватноће” описано је неколико алтернативних погледа на то шта „вероватноћа” значи и како то треба тумачити. Поред тога, било је покушаја да се конструишу теорије за количине које су нотационо сличне вероватноћи, али не поштују сва њена правила; видети, на пример, слободну вероватноћу, расплинуту логику, теорију могућности, негативну вероватноћу и квантну вероватноћу.

Дефиниција

Укратко, простор вероватноће је простор мере тако да је мера целог простора једнака јединици.

Проширена дефиниција је следеће: простор вероватноће је триплет $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ који се састоји од:

• простор узорка $\Omega$ - произвољни непразни скуп,
• σ-алгебра ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ (која се такође назива σ-поље) - скуп подскупова од $\Omega$, који се називају догађаји, тако да:
  • ${\mathcal {F}}$ садржи простор узорака: $\Omega \in {\mathcal {F}}$,
  • ${\mathcal {F}}$ је затворен под комплементима: ако је $A\in {\mathcal {F}}$, онда је такође $(\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}$,
  • ${\mathcal {F}}$ је затворен под пребројивим унијама: ако је $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ за $i=1,2,\dots$, тада је исто тако $\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}$
    • Закључак из претходна два својства и Де Морганових закона је да је ${\mathcal {F}}$ такође затворен под пребројивим пресецима: ако је $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ за $i=1,2,\dots$, онда је такође $\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}$

• мера вероватноће $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ — функција на ${\mathcal {F}}$ таква да:
  • П је пребројиво адитивна (такође звана σ-адитивна): ако $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}$ је пребројива колекција упарених непресецајућих скупова, онда је $\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),$
  • мера целокупног простора узорака је једнака један: $P(\Omega )=1$.

Литература

• Пиерре Симон де Лаплаце (1812) Аналyтицал Тхеорy оф Пробабилитy
• Андреи Николајевицх Колмогоров (1950) Фоундатионс оф тхе Тхеорy оф Пробабилитy
• Харолд Јеффреyс (1939) Тхе Тхеорy оф Пробабилитy
• Едwард Нелсон (1987) Радицаллy Елементарy Пробабилитy Тхеорy
• Патрицк Биллингслеy: Пробабилитy анд Меасуре, Јохн Wилеy анд Сонс, Неw Yорк, Торонто, Лондон, 1979.
• Хенк Тијмс (2004) Ундерстандинг Пробабилитy
• Давид Wиллиамс (1991) Пробабилитy wитх мартингалес
• Гут, Аллан (2005). Пробабилитy: А Градуате Цоурсе. Спрингер. ИСБН 0-387-22833-0. 
• Рокхлин, V. А. (1952), Он тхе фундаментал идеас оф меасуре тхеорy (ПДФ), Транслатионс, 71, Америцан Матхематицал Социетy, стр. 1–54, Архивирано из оригинала (ПДФ) 04. 03. 2016. г., Приступљено 02. 03. 2020 . Транслатед фром Руссиан: Рохлин, В. А. (1949), „Об основных понятиях теории меры”, Математический Сборник (Новая Серия), 25 (67): 107–150 
• вон Неуманн, Ј. (1932), „Еиниге Сäтзе üбер мессбаре Аббилдунген”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 33: 574–586, дои:10.2307/1968536 
• Халмос, П. Р.; вон Неуманн, Ј. (1942), „Оператор метходс ин цлассицал мецханицс, ИИ”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, Анналс оф Матхематицс, 43 (2): 332–350, ЈСТОР 1968872, дои:10.2307/1968872 
• Хаезендонцк, Ј. (1973), „Абстрацт Лебесгуе–Рохлин спацес”, Буллетин де ла Социете Матхематиqуе де Белгиqуе, 25: 243–258 
• де ла Руе, Т. (1993), „Еспацес де Лебесгуе”, Сéминаире де Пробабилитéс XXVII, Лецтуре Нотес ин Матхематицс, 1557, Спрингер, Берлин, стр. 15–21 
• Петерсен, К. (1983), Ергодиц тхеорy, Цамбридге Унив. Пресс 
• Итô, К. (1984), Интродуцтион то пробабилитy тхеорy, Цамбридге Унив. Пресс 
• Рудолпх, D. Ј. (1990), Фундаменталс оф меасурабле дyнамицс: Ергодиц тхеорy он Лебесгуе спацес, Оxфорд: Цларендон Пресс 
• Синаи, Yа. Г. (1994), Топицс ин ергодиц тхеорy, Принцетон Унив. Пресс 
• Кецхрис, А. С. (1995), Цлассицал десцриптиве сет тхеорy, Спрингер 
• Дурретт, Р. (1996), Пробабилитy: тхеорy анд еxамплес (Сецонд изд.) 
• Wиенер, Н. (1958), Нонлинеар проблемс ин рандом тхеорy, M.I.Т. Пресс 
• Боурбаки, Ницолас, Елементс оф матхематицс, Херманн (оригинал), Аддисон-Wеслеy (транслатион) 
• Еисенбуд, Давид; Харрис, Јое (2000), Тхе Геометрy оф Сцхемес, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-98638-8, дои:10.1007/б97680 .
• Гоwерс, Тимотхy; Барроw-Греен, Јуне; Леадер, Имре, ур. (2008), Тхе Принцетон Цомпанион то Матхематицс, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-11880-2 .
• Итô, Киyоси, ур. (1993), Енцyцлопедиц дицтионарy оф матхематицс (сецонд изд.), Матхематицал социетy оф Јапан (оригинал), МИТ пресс (транслатион) 
• Халмос, Паул, Наиве Сет Тхеорy. Принцетон, Њ: D. Ван Ностранд Цомпанy, 1960. Репринтед бy Спрингер-Верлаг, Неw Yорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Спрингер-Верлаг едитион). Репринтед бy Мартино Фине Боокс, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (папербацк едитион).
• Јецх, Тхомас (2002), Сет Тхеорy, Спрингер Монограпхс ин Матхематицс (3рд милленниум изд.), Спрингер, ИСБН 3-540-44085-2 
• Грахам, Малцолм (1975), Модерн Елементарy Матхематицс (2нд изд.), Харцоурт Браце Јовановицх, ИСБН 0155610392 
• Wхиттле, Петер (2000). Пробабилитy виа Еxпецтатион (4тх изд.). Неw Yорк, НY: Спрингер. ИСБН 978-0-387-98955-6. Приступљено 24. 9. 2012. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Спрингер, Мелвин Дале (1979). Тхе Алгебра оф Рандом Вариаблес. Wилеy. ИСБН 0-471-01406-0. Приступљено 24. 9. 2012. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)

Спољашње везе

• Сазонов, V.V. (2001). „Пробабилитy спаце”. Ур.: Хазеwинкел Мицхиел. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Animation demonstrating probability space of dice
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (principal author Kyle Siegrist), especially, Probability Spaces
• Citizendium
• Complete probability space
• Weisstein, Eric W. „Prostor verovatnoće”. MathWorld.