Matroid

Matroid je uređeni par $M=(S,{\mathcal {I}})$ formiran na sledeći način:

1. Skup $S$ je konačan.
2. Neka je ${\mathcal {I}}$ neprazna familija podskupova skupa $S$ (koji se nazivaju nezavisnim podskupovima) takva da ako je $B\in {\mathcal {I}}$ i $A\subseteq B$, tada je $A\in {\mathcal {I}}$. Ako familija ${\mathcal {I}}$ zadovoljava ovu osobinu tada je nazivamo nasleđenom (Hereditary). Primetimo da prazan skup $\varnothing$ obavezno pripada familiji ${\mathcal {I}}$.
3. Ako je $A\in {\mathcal {I}},B\in {\mathcal {I}}$ i $|A|<|B|$, tada postoji element $x\in B\setminus A$, takav da je $A\cup \{x\}\in {\mathcal {I}}$. Govorimo da struktura $M$ zadovoljava osobinu zamene.

Termin „matroid“ je uveo Vitni Hasler. On je proučavao matrične matroide, čiji su elementi $S$ redovi zadate matrice. Skup redova je nezavisan, ako su oni linearno nezavisni u običnom smislu. Lako se pokazuje da ova struktura definiše matroid.

Kao suštinu drugog primera matroida razmotrimo matroid grafa $M_{G}=(S_{G},{\mathcal {I}}_{G})$, koji je definisan pomoću pojma neorijentisanog grafa $G=(V,E)$, gde je:

• $S_{G}$ skup $E$ ivica grafa $G$,
• Ako je $A$ podskup skupa $E$, tada je $A\in {\mathcal {I}}_{G}$ ako i samo ako je $A$ necikličan tj, skup ivica $A$ je nezavisan ako i samo ako podgraf $G_{A}=(V,A)$ obrazuje šumu.

Teorema 1

Ako je $G=(V,E)$ neorijentisan konačan graf tada je $M_{G}=(S_{G},{\mathcal {I}}_{G})$ matroid.

Dokaz

Očigledno je da je $S_{G}=E$ konačan skup. Osim toga ${\mathcal {I}}_{G}$ je nasledna familija jer je podskup šume takođe šuma. Drugim rečima, odstranjivanje ivica iz acikličnog skupa ivica grafa ne može dati cikličan skup.

Na taj način ostaje nam da pokažemo da struktura $M_{G}$ odgovara osobini zamene. Pretpostavimo da su $G_{A}=(V,A)$ i $G_{B}=(V,B)$ šume grafa $G$ i da je $|A|<|B|$ , tj. $A$ i $B$ su aciklični skupovi ivica, i da u skupu $B$ ima više ivica nego u skupu $A$. Iz jedne od teorema koje su ranije razmatrane sledi da šuma u kojoj imamo $k$ ivica ima tačno $|V|-k$ drveta. Da to dokažemo pođimo od $|V|$ drveta od kojih svako ima samo jedan vrh i ne sadrži ni jednu ivicu. Tada svako rebro (ivica) koje se dodaje šumi, za jedan smanjuje broj drveta. Na taj način šuma $G_{A}$ ima $|V|-|A|$ drveta, a šuma $G_{B}$ ima $|V|-|B|$ drveta.

Kako šuma $G_{B}$ ima manje drveta od šume $G_{A}$ tada u šumi $G_{B}$ postoji ivica $(u,v)$ takva da se vrhovi $u$ i $v$ nalaze u dva različita drveta šume $G_{A}$. Pošto ova ivica spaja vrhove dvaju različitih drveta šume $G_{A}$ tada je možemo dodati u šumu $G_{A}$ ne obrazujući krug na taj način. Na taj način struktura $M_{G}$ zadovoljava osobinu zamene, čime se završava dokaz da je $M_{G}$ matroid.

Za zadati matroid $M=(S,{\mathcal {I}})$ definišimo element $x\in A$ kao proširenje skupa $A\in {\mathcal {I}}$, ako je njega moguće dodati u $A$ bez narušavanja nezavisnosti tj. $x$ je proširenje skupa $A$ ako je $A\cup \{x\}\in {\mathcal {I}}$. Kao primer razmotrimo matroid grafa $M_{G}$. Ako je $A$ nezavisan skup ivica, tada je ivica $e$ proširenje skupa $A$ ako i samo ako ne pripada tom skupu i ako njeno dodavanje skupu ne dovodi do stvaranja ciklusa.

Ako je $A$ nezavisan podskup u matroidu $M$, i ako u njemu nema proširenja (nisu moguća) tada kažemo da je $A$ maksimalan skup. Na taj način, skup $A$ je maksimalan ako se ne sadrži ni u jednom većem podskupu matroida $M$. Dole data osobina je često vrlo korisna.

Teorema 2

Svi maksimalni nezavisni podskupovi matroida imaju istu veličinu.

Dokaz:

Teoremu dokazujemo metodom svođenja na protivrečnost. Pretpostavimo da je $A$ maksimalan nezavisan podskup matroida $M$ i da postoji drugi maksimalni nezavisni podskup $B$ matroida $M$ čija je veličina veća od veličine podskupa $A$. Tada iz osobine zamene sledi da skup $A$ možemo proširiti do većeg nezavisnog skupa $A\cup \{x\}$ pomoću nekog elementa $x\in B\setminus A$ što je suprotno pretpostavci o maksimalnosti skupa $A$.

Kao ilustraciju primene ove teoreme razmotrimo primenu na matroid grafa $M_{G}$ vezanog za neorijentisani povezani graf $G$. Svaki maksimalni nezavisni podskup matroida $M_{G}$ mora da bude (da predstavlja) slobodno drvo koje ima tačno $|V|-1$ ivica koje spajaju vrhove grafa $G$. Takvo drvo se zove osnovno drvo grafa $G$.

Kažemo da je matroid $M=(S,{\mathcal {I}})$ težinski, ako je sa njim povezana težinska funkcija $w$ koja svakom elementu $x\in S$ pridružuje strogo pozitivnu težinu $w(x)$. Težinska funkcija $w$ se uopštava na podskupove skupa $S$ putem sumiranja:

$w(A)=\sum _{x\in A}w(x)$ za proizvoljni podskup $A\subseteq S$.

Na primer, ako sa $w(e)$ označimo dužinu ivice $e$ matroida grafa $M_{G}$, tada je $w(A)$ ukupna dužina svih ivica koje pripadaju skupu $A$.

Види још

• Теорија графова
• Похлепни алгоритам

Литература

• Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Wollan, Paul (2010), Axioms for infinite matroids .
• Bryant, Victor; Perfect, Hazel (1980). Independence Theory in Combinatorics. London and New York: Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22430-0. .
• Brylawski, Thomas H. (1972), „A decomposition for combinatorial geometries”, Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 171: 235—282, doi:10.2307/1996381 .
• Crapo, Henry H. (1969), „The Tutte polynomial”, Aequationes Mathematicae, 3 (3): 211—229, doi:10.1007/BF01817442 .
• Crapo, Henry H.; Rota, Gian-Carlo (1970). On the Foundations of Combinatorial Theory: Combinatorial Geometries. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press. ISBN 978-0-262-53016-3. MR0290980. .
• Geelen, Jim; Gerards, A. M. H.; Whittle, Geoff (2007), „Towards a matroid-minor structure theory”, Ур.: Grimmett, Geoffrey (ed.), Combinatorics, Complexity, and Chance: A Tribute to Dominic Welsh, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 34, Oxford: Oxford University Press, стр. 72—82 CS1 одржавање: Текст вишка: списак уредника (веза).
• Gerards, A. M. H. (1989), „A short proof of Tutte's characterization of totally unimodular matrices”, Linear Algebra and Applications, 114/115: 207—212, doi:10.1016/0024-3795(89)90461-8 .
• Kahn, Jeff; Kung, Joseph P. S. (1982), „Varieties of combinatorial geometries”, Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 271 (2): 485—499, doi:10.2307/1998894 .
• Kingan, Robert; Kingan, Sandra (2005), „A software system for matroids”, Graphs and Discovery, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, стр. 287—296 .
• Kung, Joseph P. S., ур. (1986). A Source Book in Matroid Theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3173-4. MR0890330. .
• Mac Lane, Saunders (1936), „Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry”, American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 58 (1): 236—240, doi:10.2307/2371070 .
• Oxley, James (1992). Matroid Theory. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853563-8. MR1207587. .
• Recski, András (1989). Matroid Theory and its Applications in Electric Network Theory and in Statics. Berlin and Budapest: Springer-Verlag and Akademiai Kiado. ISBN 978-3-540-15285-9. MR1027839. .
• Seymour, Paul D. (1980), „Decomposition of regular matroids”, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 28 (3): 305—359, doi:10.1016/0095-8956(80)90075-1 .
• Truemper, Klaus (1992). Matroid Decomposition. Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-701225-4. MR1170126. .
• Tutte, W. T. (1959), „Matroids and graphs”, Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 90 (3), doi:10.2307/1993185, MR0101527 .
• Tutte, W. T. (1965), „Lectures on matroids.”, Journal of Research of the National Bureau of Standards (U.S.A.), Sect. B, 69: 1—47 .
• Tutte, W. T. (1971), Introduction to the Theory of Matroids, New York: American Elsevier .
• Vámos, Peter (1978), „The missing axiom of matroid theory is lost forever”, Journal of the London Mathematical Society, II. Ser., 18: 403—408, doi:10.1112/jlms/s2-18.3.403 .
• van der Waerden, B. L. (1937), Moderne Algebra .
• White, Neil, ур. (1986). Theory of Matroids. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 26. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30937-0. .
• White, Neil, ур. (1992). Matroid Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 40. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38165-9. .
• Whitney, Hassler (1935), „On the abstract properties of linear dependence”, American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 57 (3): 55—79, doi:10.2307/2371182, MR1507091 .
• Whittle, Geoff (1995), „A characterization of the matroids representable over GF(3) and the rationals” (PDF), Journal of Combinatorial Theory Series B, 65 (2): 222—261, doi:10.1006/jctb.1995.1052 .