Ридбергова константа

Ридбергова константа, R, је физичка константа која се среће у атомској спектроскопији при описивању фреквенција спектралних линија једноелектронских система. Као и формула, Ридбергова формула, у којој се јавља, име је добила по Јоханесу Ридбергу шведском физичару с краја деветнаестог и почетка двадесетог века. КОнстанта је откривена у анализи спектралних серија водониковог атома чиме су се први бавили Ангстрем и Балмер. Сваки хемијски елемент има сопствену Ридбергову константу која може да се израчуна из „бесконачне“ Ридбергове константе.

Ридбергова константа је једна од најтачније одређених физичких константи са неизвесношћу мањом од 7 делова на трилион (7:10¹²). Толико тачно експериментално мерење омогућује утврђивање односа међу другим физичким константама којима се дефинисана Ридбергова константа.

${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\$.

Данас усвојена вредност за „бесконачну“ Ридбергову константу (према CODATA) износи:

$R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3}4\pi c}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1,0973731568525(73)\cdot 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}$

где је

$\hbar \$ редукована Планкова константа,

$m_{e}\$ маса мировања електрона,

$e\$ елементарно наелектрисање,

$c\$ брзина светлости у вакууму, и

$\epsilon _{0}\$ пермитивност вакуума.

У атомској физици константа се често користи у облику енергије:

$hcR_{\infty }=13,6056923(12)\,\mathrm {eV} \equiv 1\,\mathrm {Ry} \$

"Бесконачна“ константа јавља се у формули:

$R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}\$

где је

$R_{M}\$ Ридбергова константа једноелектронског јона/атома

$M\$ маса атомског језгра атома/јона.

Алтернативни изрази

Ридбергова константа може да се прикаже и на следећи начин

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\$

и

$hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}\$

где је

$h\$ Планкова константа,

$c\$ брзина светлости у вакууму,

$\alpha \$ константа фине структуре,

$\lambda _{e}\$ Комптонова таласна дужина електрона,

$f_{C}\$ Комптонова фреквенција,

$\hbar \$ редукована Планкова константа, и

$\omega _{C}\$ Комптонова угаона фреквенција електрона.

Ридбергова константа водоника

Уношењем вредности за однос масе електрона и протона $m_{e}/m_{p}=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}\$, налазимо да је Риднергова константа водоника, $R_{H}\$.

$R_{H}=10967758,341\pm 0,001\,\mathrm {m} ^{-1}\$

Уношењем ове вредности у Ридбергову формулу, можемо да израчунамо положај линија емисионог спектра водоника.

Извођење израза за Ридбергову константу

Ридбергова константа може да се изведе на основу Борових постулата

• Боров услов,

  Момент ипулса електрона може да поприми само извесне дискретне вредности:

  $L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar$

  где је n = 1,2,3,… (цео број) главни квантни број, h Планкова константа, и $\hbar =h/(2\pi )$.

  $r\$ је радијус електронске орбите

• Сила која одржава електрон у кружном кретању (центрипетална) је

  $F_{centripetal}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\$

  где је

  $m_{e}\$ маса мировања електрона, а $v\$ брзина електрона

• Електростатичка сила привлачења између електрона и протона је

  $F_{electric}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$

  где је

  $e\$ елементарно наелектрисање,

  $\epsilon _{0}\$ пермитивност вакуума.

• Према Боровом моделу тотална енергија електрона у орбити радијуса $r$ је

  $E_{\mathrm {total} }=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}\$

Прво из Боровог постулата налазимо да су допуштене брзине електрона $v$:

$v={\frac {nh}{2\pi rm_{e}}}\$

Онда налазимо да за стабилну кружну орбиту центрипетална сила мора бити једнака привлачној електростатичкој сили, $F_{centripetal}=F_{electric}$ па налазимо

${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$

Заменом у овом изразу добијене електронске брзине $v\$ и решавањем по $r\$ налазимо допуштене вредности за радијус електронске орбите

$r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi m_{e}e^{2}}}\$

Заменом овако добијеног радијуса, $r$, у изразу за електростатичку потенцијалну енергију електрона у истој орбити налазимо

$E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\$

Дакле, промена енергије при прелазу електрона из једне орбите (почетне, initial) у другу (коначне, final) је

$\Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {i} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {f} }^{2}}}\right)\$

Преласком из енергије у таласни број $\left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\$ налазимо

$\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {initial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\$

где је

$h\$ Планкова константа,

$m_{e}\$ маса мировања електрона,

$e\$ елементарно наелектрисање,

$c\$ брзина светлости у вакууму, и

$\epsilon _{0}\$ пермитивност вакуума.

а

$n_{\mathrm {i} }\$ и $n_{\mathrm {f} }\$ су квантни бројеви орбита међу којима долази до електронског прелаза.

Дакле, налазимо да је Ридбергова константа атома водоника

$R_{H}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$

Видети

• Ридбергова формула

Литература

• Mathworld

С. Мацура, Ј. Радић-Перић, АТОМИСТИКА, Службени лист, Београд, 2004., стр. 92.