Аналитичка теорија бројева

У математици, аналитичка теорија бројева је грана теорије бројева која користи методе математичке анализе за решавање проблема на целим бројевима. Често се каже да је започета са Дирихлеовим радом из 1837. године којим је увео Дирихлеову L-функцију како би се добио први доказ Дирихлеове теореме о аритметичким прогресијама. Аналитичка теорија бројева је познато по резултатима на простим бројевима (који укључују теорему простих бројева и Риманову зета функцију) и адитивној теорији бројева (као што је Голдбахова хипотеза и Варингов проблем).

Риманова зета функција ζ(с) у комплексној равни. Боја тачке s кодира вредност ζ(s): боје близо црне означавају вредности у близини нуле, док нијансе кодирају вредности аргумента.

Гране аналитичке теорије бројева

Аналитичка теорија бројева се може поделити на два главна дела, подељена више према врсти проблема које покушава да реши, него по фундаменталним разликама у техници.

• Мултипликативна теорија бројева се бави расподелом простих бројева, као што је процена броја простих бројева у датом интервалу. Она обухвата теорему простих бројева и Дирихлеову теорему простих бројева у аритметичким прогресијама.
• Адитивна теорија бројева се бави адитивном структуром целих бројева, као што је Голдбахова хипотеза према којој је сваки парни број већи од 2 збир два проста броја. Један од главних резултата теорије адитивних бројева је решење Варинговог проблема.

Историја

Прекурзори

Велики део аналитичке теорије бројева је био инспирисан теоремом простих бројева. Нека је π(x) функција расподеле простих бројева, која даје број простих бројева мањи или једнак са x, за било који реални број x. На пример, π(10) = 4, јер постоје четири проста броја (2, 3, 5 и 7) мања или једнака од 10. Теорема простих бројева наводи да је x / ln(x) добра апроксимација за π(x), у смислу да је лимес квоцијента две функције π(x) и x / ln(x) када се x приближава бесконачности једнак 1:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,$

познато је као асимптотски закон расподеле простих бројева.

Дирихле

Главни чланак: Јохан Петер Густав Лежен Дирихле

Јохан Петер Густав Лежен Дирихле је заслужан за стварање аналитичке теорије бројева, поља у коме је пронашао неколико суштинских резултата, и у чијем доказивању је увео неке фундаменталне алате, многи од којих су касније добили име по њему. Године 1837, он је објавио Дирихлеову теорему о аритметичким прогресијама, користећи концепте математичке анализе при решавању алгебарског проблема и тако је створио дисциплину аналитичке теорије бројева. Доказујући теорему, он је увео Дирихлеове карактере и L-функције. Године 1841, он је генерализовао своју аритметичку теорему прогресије од целих бројева до прстена Гаусових целих бројева $\mathbb {Z} [i]$.

Литература

• Апостол, Том M. (1976), Интродуцтион то аналyтиц нумбер тхеорy, Ундерградуате Теxтс ин Матхематицс, Неw Yорк-Хеиделберг: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90163-3, МР 0434929, Збл 0335.10001 
• Давенпорт, Харолд (2000), Мултиплицативе нумбер тхеорy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 74 (3рд ревисед изд.), Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-95097-6, МР 1790423 
• Тененбаум, Гéралд (1995), Интродуцтион то Аналyтиц анд Пробабилистиц Нумбер Тхеорy, Цамбридге студиес ин адванцед матхематицс, 46, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-41261-7 
• Аyоуб, Интродуцтион то тхе Аналyтиц Тхеорy оф Нумберс
• Х. L. Монтгомерy анд Р. C. Ваугхан, Мултиплицативе Нумбер Тхеорy I : Цлассицал Тхеорy
• Х. Иwаниец анд Е. Коwалски, Аналyтиц Нумбер Тхеорy.
• D. Ј. Неwман, Аналyтиц нумбер тхеорy, Спрингер, 1998
• Титцхмарсх, Едwард Цхарлес (1986), Тхе Тхеорy оф тхе Риеманн Зета Фунцтион (2нд изд.), Оxфорд Университy Пресс 
• Х. Халберстам анд Х. Е. Рицхерт, Сиеве Метходс
• Р. C. Ваугхан, Тхе Хардy–Литтлеwоод метход, 2нд. едн.
• Хенрy Манн (1976). Аддитион Тхеоремс: Тхе Аддитион Тхеоремс оф Гроуп Тхеорy анд Нумбер Тхеорy (Цоррецтед репринт оф 1965 Wилеy изд.). Хунтингтон, Неw Yорк: Роберт Е. Криегер Публисхинг Цомпанy. ИСБН 0-88275-418-1. 
• Натхансон, Мелвyн Б. (1996). Аддитиве Нумбер Тхеорy: Тхе Цлассицал Басес. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 164. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-94656-X. Збл 0859.11002. 
• Натхансон, Мелвyн Б. (1996). Аддитиве Нумбер Тхеорy: Инверсе Проблемс анд тхе Геометрy оф Сумсетс. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 165. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-94655-1. Збл 0859.11003. 
• Тао, Теренце; Ву, Ван (2006). Аддитиве Цомбинаторицс. Цамбридге Студиес ин Адванцед Матхематицс. 105. Цамбридге Университy Пресс. 
• Морделл, L. Ј. (1969). Диопхантине еqуатионс. Пуре анд Апплиед Матхематицс. 30. Ацадемиц Пресс. ИСБН 0-12-506250-8. Збл 0188.34503. 
• Сцхмидт, Wолфганг M. (1991). Диопхантине аппроxиматионс анд Диопхантине еqуатионс. Лецтуре Нотес ин Матхематицс. 1467. Берлин: Спрингер-Верлаг. ИСБН 3-540-54058-X. Збл 0754.11020. 
• Схореy, Т. Н.; Тијдеман, Р. (1986). Еxпонентиал Диопхантине еqуатионс. Цамбридге Трацтс ин Матхематицс. 87. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-26826-5. Збл 0606.10011. 
• Смарт, Нигел П. (1998). Тхе алгоритхмиц ресолутион оф Диопхантине еqуатионс. Лондон Матхематицал Социетy Студент Теxтс. 41. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-64156-X. Збл 0907.11001. 
• Стиллwелл, Јохн (2004). Матхематицс анд итс Хисторy (Сецонд изд.). Спрингер Сциенце + Бусинесс Медиа Инц. ИСБН 0-387-95336-1. 
• Басхмакова, Изабелла Г. "Диопханте ет Фермат," Ревуе д'Хистоире дес Сциенцес 19 (1966), пп. 289-306
• Басхмакова, Изабелла Г. Диопхантус анд Диопхантине Еqуатионс. Мосцоw: Наука 1972 [ин Руссиан]. Герман транслатион: Диопхант унд диопхантисцхе Глеицхунген. Биркхаусер, Басел/ Стуттгарт, 1974. Енглисх транслатион: Диопхантус анд Диопхантине Еqуатионс. Транслатед бy Абе Схенитзер wитх тхе едиториал ассистанце оф Хардy Грант анд упдатед бy Јосепх Силверман. Тхе Долциани Матхематицал Еxпоситионс, 20. Матхематицал Ассоциатион оф Америца, Wасхингтон, DC. 1997.
• Басхмакова, Изабелла Г. “Аритхметиц оф Алгебраиц Цурвес фром Диопхантус то Поинцарé” Хисториа Матхематица 8 (1981), 393-416.
• Басхмакова, Изабелла Г., Славутин, Е.I. Хисторy оф Диопхантине Аналyсис фром Диопхантус то Фермат. Мосцоw: Наука 1984 [ин Руссиан].
• Басхмакова, Изабелла Г. “Диопхантине Еqуатионс анд тхе Еволутион оф Алгебра,” Америцан Матхематицал Социетy Транслатионс 147 (2), 1990, пп. 85-100. Транслатед бy А. Схенитзер анд Х. Грант.
• Дицксон, Леонард Еугене (2005) [1920]. Хисторy оф тхе Тхеорy оф Нумберс. Волуме II: Диопхантине аналyсис. Минеола, НY: Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-44233-4. МР 0245500. Збл 1214.11002. 
• Расхед, Росхди, Хоузел, Цхристиан. Лес Аритхмéтиqуес де Диопханте : Лецтуре хисториqуе ет матхéматиqуе, Берлин, Неw Yорк : Wалтер де Груyтер, 2013.
• Расхед, Росхди, Хистоире де л’аналyсе диопхантиенне цлассиqуе : Д’Абū Кāмил à Фермат, Берлин, Неw Yорк : Wалтер де Груyтер.
• Апостол, Т. M. (2010), „Зета анд Релатед Фунцтионс”, Ур.: Олвер, Франк W. Ј.; Лозиер, Даниел M.; Боисверт, Роналд Ф.; Цларк, Цхарлес W., НИСТ Хандбоок оф Матхематицал Фунцтионс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-19225-5, МР 2723248 .
• Борwеин, Јонатхан; Брадлеy, Давид M.; Црандалл, Рицхард (2000). „Цомпутатионал Стратегиес фор тхе Риеманн Зета Фунцтион” (ПДФ). Ј. Цомп. Апп. Матх. 121 (1–2): 247—296. Бибцоде:2000ЈЦоАМ.121..247Б. дои:10.1016/С0377-0427(00)00336-8. Архивирано из оригинала (ПДФ) 25. 09. 2006. г. Приступљено 02. 03. 2020. 
• Цвијовић, Дјурдје; Клиноwски, Јацек (2002). „Интеграл Репресентатионс оф тхе Риеманн Зета Фунцтион фор Одд-Интегер Аргументс”. Ј. Цомп. Апп. Матх. 142 (2): 435—439. Бибцоде:2002ЈЦоАМ.142..435Ц. МР 1906742. дои:10.1016/С0377-0427(02)00358-8. 
• Цвијовић, Дјурдје; Клиноwски, Јацек (1997). „Цонтинуед-фрацтион еxпансионс фор тхе Риеманн зета фунцтион анд полyлогаритхмс”. Проц. Амер. Матх. Соц. 125 (9): 2543—2550. дои:10.1090/С0002-9939-97-04102-6. 
• Едwардс, Х. M. (1974). Риеманн'с Зета Фунцтион. Ацадемиц Пресс. ИСБН 0-486-41740-9.  Хас ан Енглисх транслатион оф Риеманн'с папер.
• Хадамард, Јацqуес (1896). „Сур ла дистрибутион дес зéрос де ла фонцтион ζ(с) ет сес цонсéqуенцес аритхмéтиqуес”. Буллетин де ла Социéтé Матхéматиqуе де Франце. 14: 199—220. дои:10.24033/бсмф.545. 
• Хардy, Г. Х. (1949). Дивергент Сериес. Цларендон Пресс, Оxфорд. 
• Хассе, Хелмут (1930). „Еин Суммиерунгсверфахрен фüр дие Риеманнсцхе ζ-Реихе”. Матх. З. 32: 458—464. МР 1545177. дои:10.1007/БФ01194645. 
• Ивиц, А. (1985). Тхе Риеманн Зета Фунцтион. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 0-471-80634-X. 
• Мотохасхи (1997). Спецтрал Тхеорy оф тхе Риеманн Зета-Фунцтион. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0521445205. 
• Каратсуба, А. А.; Воронин, С. M. (1992). Тхе Риеманн Зета-Фунцтион. Берлин: W. де Груyтер. 
• Мезő, Иствáн; Дил, Аyхан (2010). „Хyперхармониц сериес инволвинг Хурwитз зета фунцтион”. Јоурнал оф Нумбер Тхеорy. 130 (2): 360—369. МР 2564902. дои:10.1016/ј.јнт.2009.08.005. 
• Монтгомерy, Хугх L.; Ваугхан, Роберт C. (2007). Мултиплицативе нумбер тхеорy. I. Цлассицал тхеорy. Цамбридге трацтс ин адванцед матхематицс. 97. Цамбридге Университy Пресс. Цх. 10. ИСБН 978-0-521-84903-6. 
• Неwман, Доналд Ј. (1998). Аналyтиц нумбер тхеорy. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 177. Спрингер-Верлаг. Цх. 6. ИСБН 0-387-98308-2. 
• Раох, Гуо (1996). „Тхе Дистрибутион оф тхе Логаритхмиц Деривативе оф тхе Риеманн Зета Фунцтион”. Процеедингс оф тхе Лондон Матхематицал Социетy. с3–72: 1—27. арXив:1308.3597 . дои:10.1112/плмс/с3-72.1.1. 
• Риеманн, Бернхард (1859). „Üбер дие Анзахл дер Примзахлен унтер еинер гегебенен Грöссе”. Монатсберицхте дер Берлинер Академие. . Ин Гесаммелте Wерке, Теубнер, Леипзиг (1892), Репринтед бy Довер, Неw Yорк (1953).
• Сондоw, Јонатхан (1994). „Аналyтиц цонтинуатион оф Риеманн'с зета фунцтион анд валуес ат негативе интегерс виа Еулер'с трансформатион оф сериес” (ПДФ). Проц. Амер. Матх. Соц. 120 (2): 421—424. дои:10.1090/С0002-9939-1994-1172954-7. 
• Титцхмарсх, Е. C. (1986). Хеатх-Броwн, ур. Тхе Тхеорy оф тхе Риеманн Зета Фунцтион (2нд рев. изд.). Оxфорд Университy Пресс. 
• Wхиттакер, Е. Т.; Wатсон, Г. Н. (1927). А Цоурсе ин Модерн Аналyсис (4тх изд.). Цамбридге Университy Пресс. Цх. 13. 
• Зхао, Јианqианг (1999). „Аналyтиц цонтинуатион оф мултипле зета фунцтионс”. Проц. Амер. Матх. Соц. 128 (5): 1275—1283. МР 1670846. дои:10.1090/С0002-9939-99-05398-8. 

Спољашње везе

• Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Аддитиве нумбер тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Additive Number Theory”. MathWorld.