Ати–Зингерова индексна теорема
Математика теорема
У диференцијалној геометрији, Ати–Зингерова индексна теорема[1] наводи да је за елиптчки диференцијал оператор на компактној многострукости, аналитички индекс (везан за димензију простора решења) једнак тополошком индексу (дефинисаном у смислу тополошких података). Њиме су обухваћене многе друге теореме, попут теореме Черн–Гаус–Бонета и теореме Риман–Роча, као посебних случајева и има примене у теоријској физици.
Историја
уредиИзраел Гелфанд је постулирао индексни проблем за елиптичне диференцијалне операторе.[2] Он је уочио хомотопну инваријансу индекса, и затражио формулу за њено изражавање помоћу тополошких инваријанти. Неки од мотивирајућих примера обухваћали су теорему Риман-Роча и њену генерализацију теорему Хирзебруч-Риман-Роча и Хирзебручову теорему потписа. Фридрих Хирзебруч и Арманд Борел су доказали интегралност Â врсте спинске многостукости, а Ати је сугерисао да се овај интегритет може објаснити ако он представља индекс Дираковог оператора (који су поново открили Ати и Зингер 1961. године).
Ати–Зингерову теорему су објавили Ати и Зингер[3]. Они нису објавили доказе скициране у овој најави, иако се докази појављују у књизи објављеној пар година касније.[4] Докази су такође представљени на научном скупу „Сéминаире Цартан-Сцхwартз 1963/64”[5] који је одржан у Паризу истовремено са семинаром који је на Универзитету Принстон водио Ричард Палаис. Ати је одржао последње предавање у Паризу о многострукостима са границама. Њихов први објављени доказ[6] је заменио теорију кобордизма првог доказа са К-теоријом, и они су то користили за доказ разних генерализација у накнадним радовима.[7]
- 1965: Сергеј П. Новиков[8] је објавио своје резултате о тополошкој инваријанси рационалних Понтрјагинових класа на глатним многострукостима.
- 1969: Резултати Робина Кирбија и Лорента Сибермана[9] у комбинацији са Рене Томовом публикацијом [10] доказали су постојање рационалних Понтрјагинових класа на тополошким многострукостима. Рационалне Понтрјагинове класе су есенцијални састојци индексне теореме на глатким и тополошким многострукостима.
- 1969: Мичел Ати је дефинисао апстрактне елиптичне операторе на произвољним метричким просторима.[11] Апстрактни елиптични оператори су постали протагонисти у Каспаровој теорији и Конесовој некомутативној диференцијалној геометрији.
- 1971: Исадор Зингер је предложио свеобухватни програм за будућа проширења индексне теорије.[12]
- 1972: Генади Каспаров је објавио свој рад о реализацији К-хомологије помоћу апстрактних елиптичких оператора.[13]
- 1973: Ати, Бот и Раоул су дали нови доказ индексне теореме користећи једначину топлоте,[14] описан у Мелрозовој књизи.[15]
- 1977: Саливан је успоставио своју теорему о постојању и јединствености Липшицових и квазиконформалних структура на тополошким многострукостима с димензијама различитим од 4.[16]
- 1983: Гецлер[17] је мотивисан идејама Витена[18] и Лиса Алвареза-Гаума, дао кратак доказ локалне индексне теореме за операторе који су локални Диракови оператори; тиме су покривени многи корисни случајеви.
- 1983: Телеман је доказао да су аналитички индекси потписних оператора са вредностима у векторским свежњевима тополошке инваријанте.[19]
- 1984: Телеман је успоставио индексну теорему на тополошким многострукостима.[20]
- 1986: Конс је објавио своју фундаменталну публикацију о некомутативној геометрији.[21]
- 1989: Доналсонова и Саливанова су објавили студију Јанг-Милсове теорије квазиконформалних многострукости димензије 4. Они су увели потпини оператор S дефинисан на диференцијалним формама другог степена.[22]
- 1990: Конс и Московици су доказали локалну индексну формулу у контексту некомутативне геометрије.[23]
- 1994: Конс, Саливан и Телеман су доказали индексну теорему за потписне операторе на квазиконформалним многострукостима.[24]
Референце
уреди- ^ Мицхаел Атиyах анд Исадоре Сингер (1963)
- ^ Исраел Гел'фанд (1960)
- ^ Атиyах & Сингер (1963)
- ^ (Палаис 1965)
- ^ Цартан-Сцхwартз 1965
- ^ Атиyах & Сингер 1968а
- ^ Атиyах анд Сингер (1968а, 1968б, 1971а, 1971б)
- ^ Новиков 1965
- ^ Кирбy & Сиебенманн 1969
- ^ Тхом 1956
- ^ Мицхаел Ф. Атиyах (1970)
- ^ Исадоре M. Сингер (1971)
- ^ Геннади Г. Каспаров (1972)
- ^ Атиyах, Раоул Ботт, анд Вијаy Патоди (1973)
- ^ Мелросе 1993
- ^ Деннис Сулливан (1979)
- ^ Езра Гетзлер (1983)
- ^ Едwард Wиттен (1982)
- ^ Ницолае Телеман (1983)
- ^ Телеман 1984
- ^ Алаин Цоннес (1986)
- ^ Симон К. Доналдсон анд Сулливан (1989)
- ^ Цоннес анд Хенри Мосцовици (1990)
- ^ Цоннес, Сулливан, анд Телеман (1994)
Литература
уреди- Атиyах, M. Ф. (1970), „Глобал Тхеорy оф Еллиптиц Операторс”, Проц. Инт. Цонф. он Фунцтионал Аналyсис анд Релатед Топицс (Токyо, 1969), Университy оф Токио, Збл 0193.43601
- Атиyах, M. Ф. (1976), „Еллиптиц операторс, дисцрете гроупс анд вон Неуманн алгебрас”, Цоллоqуе "Аналyсе ет Топологие" ен л'Хоннеур де Хенри Цартан (Орсаy, 1974), Астерисqуе, 32–33, Соц. Матх. Франце, Парис, стр. 43—72, МР 0420729
- Атиyах, M. Ф.; Сегал, Г. Б. (1968), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс: ИИ”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 87 (3): 531—545, ЈСТОР 1970716, дои:10.2307/1970716 Тхис реформулатес тхе ресулт ас а сорт оф Лефсцхетз фиxед поинт тхеорем, усинг еqуивариант К-тхеорy.
- Атиyах, Мицхаел Ф.; Сингер, Исадоре M. (1963), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс он Цомпацт Манифолдс”, Булл. Амер. Матх. Соц., 69 (3): 422—433, дои:10.1090/С0002-9904-1963-10957-X Ан анноунцемент оф тхе индеx тхеорем.
- Атиyах, Мицхаел Ф.; Сингер, Исадоре M. (1968а), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс И”, Анналс оф Матхематицс, 87 (3): 484—530, ЈСТОР 1970715, дои:10.2307/1970715 Тхис гивес а прооф усинг К-тхеорy инстеад оф цохомологy.
- Атиyах, Мицхаел Ф.; Сингер, Исадоре M. (1968б), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс ИИИ”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 87 (3): 546—604, ЈСТОР 1970717, дои:10.2307/1970717 Тхис папер схоwс хоw то цонверт фром тхе К-тхеорy версион то а версион усинг цохомологy.
- Атиyах, Мицхаел Ф.; Сингер, Исадоре M. (1971), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс ИВ”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 93 (1): 119—138, ЈСТОР 1970756, дои:10.2307/1970756 Тхис папер студиес фамилиес оф еллиптиц операторс, wхере тхе индеx ис ноw ан елемент оф тхе К-тхеорy оф тхе спаце параметризинг тхе фамилy.
- Атиyах, Мицхаел Ф.; Сингер, Исадоре M. (1971), „Тхе Индеx оф Еллиптиц Операторс В”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 93 (1): 139—149, ЈСТОР 1970757, дои:10.2307/1970757. Тхис студиес фамилиес оф реал (ратхер тхан цомплеx) еллиптиц операторс, wхен оне цан сометимес сqуеезе оут а литтле еxтра информатион.
- Атиyах, M. Ф.; Ботт, Р. (1966), „А Лефсцхетз Фиxед Поинт Формула фор Еллиптиц Дифферентиал Операторс”, Булл. Ам. Матх. Соц., 72 (2): 245—50, дои:10.1090/С0002-9904-1966-11483-0. Тхис статес а тхеорем цалцулатинг тхе Лефсцхетз нумбер оф ан ендоморпхисм оф ан еллиптиц цомплеx.
- Атиyах, M. Ф.; Ботт, Р. (1967), „А Лефсцхетз Фиxед Поинт Формула фор Еллиптиц Цомплеxес: И”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд сериес, 86 (2): 374—407, ЈСТОР 1970694, дои:10.2307/1970694 анд Атиyах, M. Ф.; Ботт, Р. (1968), „А Лефсцхетз Фиxед Поинт Формула фор Еллиптиц Цомплеxес: II. Апплицатионс”, Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 88 (3): 451—491, ЈСТОР 1970721, дои:10.2307/1970721 Тхесе гиве тхе проофс анд соме апплицатионс оф тхе ресултс анноунцед ин тхе превиоус папер.
- Атиyах, M.; Ботт, Р.; Патоди, V. К. (1973), „Он тхе хеат еqуатион анд тхе индеx тхеорем”, Инвент. Матх., 19 (4): 279—330, Бибцоде:1973ИнМат..19..279А, МР 0650828, дои:10.1007/БФ01425417. Атиyах, M.; Ботт, Р.; Патоди, V. К. (1975), „Еррата”, Инвент. Матх., 28 (3): 277—280, Бибцоде:1975ИнМат..28..277А, МР 0650829, дои:10.1007/БФ01425562
- Атиyах, Мицхаел; Сцхмид, Wилфриед (1977), „А геометриц цонструцтион оф тхе дисцрете сериес фор семисимпле Лие гроупс”, Инвент. Матх., 42: 1—62, Бибцоде:1977ИнМат..42....1А, МР 0463358, дои:10.1007/БФ01389783, Атиyах, Мицхаел; Сцхмид, Wилфриед (1979), „Ерратум”, Инвент. Матх., 54 (2): 189—192, Бибцоде:1979ИнМат..54..189А, МР 0550183, дои:10.1007/БФ01408936
- Атиyах, Мицхаел (1988а), Цоллецтед wоркс. Вол. 3. Индеx тхеорy: 1, Оxфорд Сциенце Публицатионс, Неw Yорк: Тхе Цларендон Пресс, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 978-0-19-853277-4, МР 0951894
- Атиyах, Мицхаел (1988б), Цоллецтед wоркс. Вол. 4. Индеx тхеорy: 2, Оxфорд Сциенце Публицатионс, Неw Yорк: Тхе Цларендон Пресс, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 978-0-19-853278-1, МР 0951895
- Баум, П.; Фултон, W.; Мацпхерсон, Р. (1979), „Риеманн-Роцх фор сингулар вариетиес”, Ацта Матхематица, 143: 155—191, Збл 0332.14003, дои:10.1007/БФ02684299
- Берлине, Ницоле; Гетзлер, Езра; Вергне, Мицхèле (1992), Хеат Кернелс анд Дирац Операторс, Берлин: Спрингер, ИСБН 978-3-540-53340-5 Тхис гивес ан елементарy прооф оф тхе индеx тхеорем фор тхе Дирац оператор, усинг тхе хеат еqуатион анд суперсyмметрy.
- Бисмут, Јеан-Мицхел (1984), „Тхе Атиyах–Сингер Тхеоремс: А Пробабилистиц Аппроацх. I. Тхе индеx тхеорем” (ПДФ), Ј. Фунцт. Аналyсис, 57: 56—99, дои:10.1016/0022-1236(84)90101-0, Архивирано из оригинала (ПДФ) 06. 03. 2008. г., Приступљено 05. 02. 2021 Бисмут провес тхе тхеорем фор еллиптиц цомплеxес усинг пробабилистиц метходс, ратхер тхан хеат еqуатион метходс.
- Цартан-Сцхwартз (1965), Сéминаире Хенри Цартан. Тхéореме д'Атиyах-Сингер сур л'индице д'ун опéратеур диффéрентиел еллиптиqуе. 16 аннее: 1963/64 диригее пар Хенри Цартан ет Лаурент Сцхwартз. Фасц. 1; Фасц. 2. (Френцх), Ецоле Нормале Супериеуре, Сецретариат матхематиqуе, Парис, Збл 0149.41102
- Цоннес, А. (1986), „Нон-цоммутативе дифферентиал геометрy”, Публицатионс Матхематиqуес, 62: 257—360, Збл 0592.46056, дои:10.1007/БФ02698807
- Цоннес, А. (1994), Нонцоммутативе Геометрy
, Сан Диего: Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-185860-5, Збл 0818.46076 - Цоннес, А.; Мосцовици, Х. (1990), „Цyцлиц цохомологy, тхе Новиков цоњецтуре анд хyперболиц гроупс” (ПДФ), Топологy, 29 (3): 345—388, Збл 0759.58047, дои:10.1016/0040-9383(90)90003-3, Архивирано из оригинала (ПДФ) 15. 12. 2020. г., Приступљено 16. 02. 2020
- Цоннес, А.; Сулливан, D.; Телеман, Н. (1994), „Qуасицонформал маппингс, операторс он Хилберт спаце анд лоцал формулае фор цхарацтеристиц цлассес”, Топологy, 33 (4): 663—681, Збл 0840.57013, дои:10.1016/0040-9383(94)90003-5
- Доналдсон, С.К.; Сулливан, D. (1989), „Qуасицонформал 4-манифолдс”, Ацта Матхематица, 163: 181—252, Збл 0704.57008, дои:10.1007/БФ02392736
- Гел'фанд, I. M. (1960), „Он еллиптиц еqуатионс”, Русс. Матх. Сурв., 15 (3): 113—123, Бибцоде:1960РуМаС..15..113Г, дои:10.1070/рм1960в015н03АБЕХ004094 репринтед ин волуме 1 оф хис цоллецтед wоркс, п. 65–75, ISBN 0-387-13619-3. Он паге 120 Гел'фанд суггестс тхат тхе индеx оф ан еллиптиц оператор схоулд бе еxпрессибле ин термс оф топологицал дата.
- Гетзлер, Е. (1983), „Псеудодифферентиал операторс он суперманифолдс анд тхе Атиyах–Сингер индеx тхеорем”, Цоммун. Матх. Пхyс., 92 (2): 163—178, Бибцоде:1983ЦМаПх..92..163Г, дои:10.1007/БФ01210843
- Гетзлер, Е. (1988), „А схорт прооф оф тхе лоцал Атиyах–Сингер индеx тхеорем”, Топологy, 25: 111—117, дои:10.1016/0040-9383(86)90008-X
- Гилкеy, Петер Б. (1994), Инварианце Тхеорy, тхе Хеат Еqуатион, анд тхе Атиyах–Сингер Тхеорем, ИСБН 978-0-8493-7874-4, Архивирано из оригинала 29. 12. 2019. г., Приступљено 16. 02. 2020 Фрее онлине теxтбоок тхат провес тхе Атиyах–Сингер тхеорем wитх а хеат еqуатион аппроацх
- Хигсон, Нигел; Рое, Јохн (2000), Аналyтиц К-хомологy, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 9780191589201
- Хилсум, M. (1999), „Струцтурес риеманиеннес Lп ет К-хомологие”, Анналс оф Матхематицс, 149 (3): 1007—1022, ЈСТОР 121079, арXив:матх/9905210
, дои:10.2307/121079 - Каспаров, Г.Г. (1972), „Топологицал инварианце оф еллиптиц операторс, I: К-хомологy”, Матх. УССР Известија (Енгл. Трансл.), 9 (4): 751—792, Бибцоде:1975ИзМат...9..751К, дои:10.1070/ИМ1975в009н04АБЕХ001497
- Кирбy, Р.; Сиебенманн, L.C. (1969), „Он тхе триангулатион оф манифолдс анд тхе Хауптвермутунг”, Булл. Амер. Матх. Соц., 75 (4): 742—749, дои:10.1090/С0002-9904-1969-12271-8
- Кирбy, Р.; Сиебенманн, L.C. (1977), Фоундатионал Ессаyс он Топологицал Манифолдс, Смоотхингс анд Триангулатионс, Анналс оф Матхематицс Студиес ин Матхематицс, 88, Принцетон: Принцетон Университy Пресс анд Токио Университy Пресс
- Мелросе, Рицхард Б. (1993), Тхе Атиyах–Патоди–Сингер Индеx Тхеорем, Wеллеслеy, Масс.: Петерс, ИСБН 978-1-56881-002-7 Фрее онлине теxтбоок.
- Новиков, С.П. (1965), „Топологицал инварианце оф тхе ратионал Понтрјагин цлассес” (ПДФ), Докладy Академии Наук СССР, 163: 298—300
- Палаис, Рицхард С. (1965), Семинар он тхе Атиyах–Сингер Индеx Тхеорем, Анналс оф Матхематицс Студиес, 57, С.л.: Принцетон Унив Пресс, ИСБН 978-0-691-08031-4 Тхис десцрибес тхе оригинал прооф оф тхе тхеорем (Атиyах анд Сингер невер публисхед тхеир оригинал прооф тхемселвес, бут онлy импровед версионс оф ит.)
- Сханахан, П. (1978), Тхе Атиyах–Сингер индеx тхеорем: ан интродуцтион, Лецтуре Нотес ин Матхематицс, 638, Спрингер, ЦитеСеерX 10.1.1.193.9222 , ИСБН 978-0-387-08660-6, дои:10.1007/БФб0068264
- Сингер, I.M. (1971), „Футуре еxтенсионс оф индеx тхеорy анд еллиптиц операторс”, Проспецтс ин Матхематицс, Анналс оф Матхематицс Студиес ин Матхематицс, 70, стр. 171—185
- Сулливан, D. (1979), „Хyперболиц геометрy анд хомеоморпхисмс”, Ј.C. Цандрелл, "Геометриц Топологy", Проц. Георгиа Топологy Цонф. Атхенс, Георгиа, 1977, Неw Yорк: Ацадемиц Пресс, стр. 543—595, ИСБН 978-0-12-158860-1, Збл 0478.57007
- Сулливан, D.; Телеман, Н. (1983), „Ан аналyтиц прооф оф Новиков'с тхеорем он ратионал Понтрјагин цлассес”, Публицатионс Матхематиqуес, Парис, 58: 291—293, Збл 0531.58045
- Телеман, Н. (1980), „Цомбинаториал Ходге тхеорy анд сигнатуре оператор”, Инвентионес Матхематицае, 61 (3): 227—249, Бибцоде:1980ИнМат..61..227Т, дои:10.1007/БФ01390066
- Телеман, Н. (1983), „Тхе индеx оф сигнатуре операторс он Липсцхитз манифолдс”, Публицатионс Матхематиqуес, 58: 251—290, Збл 0531.58044, дои:10.1007/БФ02953772
- Телеман, Н. (1984), „Тхе индеx тхеорем он топологицал манифолдс”, Ацта Матхематица, 153: 117—152, Збл 0547.58036, дои:10.1007/БФ02392376
- Телеман, Н. (1985), „Трансверсалитy анд тхе индеx тхеорем”, Интеграл Еqуатионс анд Оператор Тхеорy, 8 (5): 693—719, дои:10.1007/БФ01201710
- Тхом, Р. (1956), „Лес цлассес царацтéристиqуес де Понтрјагин де вариéтéс триангулéес”, Сyмп. Инт. Топ. Алг. Меxицо, стр. 54—67
- Wиттен, Едwард (1982), „Суперсyмметрy анд Морсе тхеорy”, Ј. Дифф. Геом., 17 (4): 661—692, МР 0683171, дои:10.4310/јдг/1214437492
- Схинг-Тунг Yау, ур. (2009) [Фирст публисхед ин 2005], Тхе Фоундерс оф Индеx Тхеорy (2нд изд.), Сомервилле, Масс.: Интернатионал Пресс оф Бостон, ИСБН 978-1571461377 - Персонал аццоунтс он Атиyах, Ботт, Хирзебруцх анд Сингер.
Спољашње везе
уреди
- Рафе Маззео: Тхе Атиyах–Сингер Индеx Тхеорем: Wхат ит ис анд wхy yоу схоулд царе. Пдф пресентатион.
- Воитсекховскии, M.I.; Схубин, M.А. (2001). „Индеx формулас”. Ур.: Хазеwинкел Мицхиел. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.
- Antony Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem
- Raussen, Martin; Skau, Christian (2005), „Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer” (PDF), Notices of AMS, стр. 223—231
- R. R. Seeley and other (1999) Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators - A partial transcript of informal post–dinner conversation during a symposium held in Roskilde, Denmark, in September 1998.