Ati–Zingerova indeksna teorema

Математика теорема

U diferencijalnoj geometriji, Ati–Zingerova indeksna teorema[1] navodi da je za eliptčki diferencijal operator na kompaktnoj mnogostrukosti, analitički indeks (vezan za dimenziju prostora rešenja) jednak topološkom indeksu (definisanom u smislu topoloških podataka). Njime su obuhvaćene mnoge druge teoreme, poput teoreme Čern–Gaus–Boneta i teoreme Riman–Roča, kao posebnih slučajeva i ima primene u teorijskoj fizici.

Istorija

uredi

Izrael Gelfand je postulirao indeksni problem za eliptične diferencijalne operatore.[2] On je uočio homotopnu invarijansu indeksa, i zatražio formulu za njeno izražavanje pomoću topoloških invarijanti. Neki od motivirajućih primera obuhvaćali su teoremu Riman-Roča i njenu generalizaciju teoremu Hirzebruč-Riman-Roča i Hirzebručovu teoremu potpisa. Fridrih Hirzebruč i Armand Borel su dokazali integralnost  vrste spinske mnogostukosti, a Ati je sugerisao da se ovaj integritet može objasniti ako on predstavlja indeks Dirakovog operatora (koji su ponovo otkrili Ati i Zinger 1961. godine).

Ati–Zingerovu teoremu su objavili Ati i Zinger[3]. Oni nisu objavili dokaze skicirane u ovoj najavi, iako se dokazi pojavljuju u knjizi objavljenoj par godina kasnije.[4] Dokazi su takođe predstavljeni na naučnom skupu „Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64”[5] koji je održan u Parizu istovremeno sa seminarom koji je na Univerzitetu Prinston vodio Ričard Palais. Ati je održao poslednje predavanje u Parizu o mnogostrukostima sa granicama. Njihov prvi objavljeni dokaz[6] je zamenio teoriju kobordizma prvog dokaza sa K-teorijom, i oni su to koristili za dokaz raznih generalizacija u naknadnim radovima.[7]

  • 1965: Sergej P. Novikov[8] je objavio svoje rezultate o topološkoj invarijansi racionalnih Pontrjaginovih klasa na glatnim mnogostrukostima.
  • 1969: Rezultati Robina Kirbija i Lorenta Sibermana[9] u kombinaciji sa Rene Tomovom publikacijom [10] dokazali su postojanje racionalnih Pontrjaginovih klasa na topološkim mnogostrukostima. Racionalne Pontrjaginove klase su esencijalni sastojci indeksne teoreme na glatkim i topološkim mnogostrukostima.
  • 1969: Mičel Ati je definisao apstraktne eliptične operatore na proizvoljnim metričkim prostorima.[11] Apstraktni eliptični operatori su postali protagonisti u Kasparovoj teoriji i Konesovoj nekomutativnoj diferencijalnoj geometriji.
  • 1971: Isador Zinger je predložio sveobuhvatni program za buduća proširenja indeksne teorije.[12]
  • 1972: Genadi Kasparov je objavio svoj rad o realizaciji K-homologije pomoću apstraktnih eliptičkih operatora.[13]
  • 1973: Ati, Bot i Raoul su dali novi dokaz indeksne teoreme koristeći jednačinu toplote,[14] opisan u Melrozovoj knjizi.[15]
  • 1977: Salivan je uspostavio svoju teoremu o postojanju i jedinstvenosti Lipšicovih i kvazikonformalnih struktura na topološkim mnogostrukostima s dimenzijama različitim od 4.[16]
  • 1983: Gecler[17] je motivisan idejama Vitena[18] i Lisa Alvareza-Gauma, dao kratak dokaz lokalne indeksne teoreme za operatore koji su lokalni Dirakovi operatori; time su pokriveni mnogi korisni slučajevi.
  • 1983: Teleman je dokazao da su analitički indeksi potpisnih operatora sa vrednostima u vektorskim svežnjevima topološke invarijante.[19]
  • 1984: Teleman je uspostavio indeksnu teoremu na topološkim mnogostrukostima.[20]
  • 1986: Kons je objavio svoju fundamentalnu publikaciju o nekomutativnoj geometriji.[21]
  • 1989: Donalsonova i Salivanova su objavili studiju Jang-Milsove teorije kvazikonformalnih mnogostrukosti dimenzije 4. Oni su uveli potpini operator S definisan na diferencijalnim formama drugog stepena.[22]
  • 1990: Kons i Moskovici su dokazali lokalnu indeksnu formulu u kontekstu nekomutativne geometrije.[23]
  • 1994: Kons, Salivan i Teleman su dokazali indeksnu teoremu za potpisne operatore na kvazikonformalnim mnogostrukostima.[24]

Reference

uredi

Literatura

uredi

Spoljašnje veze

uredi