Класификација коначних простих група

У математици, класификација коначних простих група је теорема која наводи да свака коначна проста група припада једној од четири широке класе описане испод. Те групе се могу посматрати као основни градивни блокови свих коначних група, попут начина на који су прости бројеви основни градивни блокови природних бројева. Теорема Џордан–Хелдера је прецизнији начин навођења ове чињенице о коначним групама. Међутим, значајна разлика од целобројне факторизације је да такви „градивни блокови” нужно не одређују јединствену групу, јер може постојати много неизоморфних група са истом композиционом серијом или, другачије речено, екстензиони проблем нема јединствено решење.

Теорија група је централна у многим областима чисте и примењене математике, и теорема о класификацији је једно од великих достигнућа савремене математике. Доказ се састоји од десетина хиљада страница у неколико стотина чланака из часописа које је написало око 100 аутора, а објављени су углавном између 1955. и 2004. године. Горенстајн (умро 1992. године), Лајонс и Соломон су постепено објавили поједностављену и ревидирану верзију доказа.

Исказ класификационе теореме

Главни чланак: Списак коначних простих група

Теорема — Свака коначна проста група је изоморфна са једном од следећих група:

• члан једне од три бесконачне класе, наиме:
  • цикличне групе првог реда,
  • алтернативне групе од бар степена 5,
  • групе Лиевог типа
• једна од 26 група званих „спорадичне групе”
• Титсова група (која се понекад сматра 27. спорадичном групом).

Класификациона теорема има примене у многим гранама математике, јер се питања о структури коначних група (и њиховом деловању на друге математичке објекте) понекад могу свести на питања о коначним простим групама. Захваљујући класификационој теореми, на таква питања се понекад може одговорити провером сваке породице простих група и сваке спорадичне групе.

Даниел Горенстајн је објавио 1983. године да су све коначне просте групе биле класификоване, али то је било преурањено, јер је био погрешно информисан о доказу о класификацији квазитинских група. Комплетирани доказ о класификацији објавио је Ашбашер 2004, након што су он и Смит објавили доказ на 1221 странице за недостајући квазитински случај.

Преглед доказа класификационе теореме

Горенстајн је написао рад у два тома у коме су образложени ниски ранг и непарни карактеристични део доказа, а Ашбачер је написао трећи део у коме су покривена преостала два случаја. Доказ се може поделити у неколико главних делова.

Групе ниског 2-ранга

Једноставне групе ниског 2-ранга су углавном групе Лиевог типа ниског ранга преко поља непарних карактеристика, заједно са пет наизменичних и седам карактеристичних 2 типова и девет спорадичних група.

Једноставне групе ниског 2-ранга укључују:

• Групе 2-ранга 0, другим речима групе непарног реда, које су све решиве по теореми Фејт–Томпсона.
• Групе 2-ранга 1. Сајлове 2-подгрупе су или цикличне, којима се лако рукује коришћењем трансферне мапе, или генерализовани кватерниони, којима се рукује теоремом Брауер-Сузукија: специфично не постоје просте групе са 2-рангом 1.
• Групе 2-ранга 2. Алперин је показао да Сајлова подгрупа мора бити дихедрална, квазидихедрална, уплетена или Сајлова 2-подгрупа из У₃(4). Први случај је третира теоремом Горенстајин-Валтера која показује да су једино просте групе изоморфне до L₂(q) за непарно q или А₇, други и трећи случај су подложни теореми Алперин–Брауер–Горенстајна, што имплицира да су само просте групе изоморфне на L₃(q) или U₃(q) за непарно q или M₁₁, а последњи случај је урадио Лајонс који је показао да је U₃(4) једина проста могућност.
• Групе секционог 2-ранга од највише 4, класификоване према теореми Горенстајн-Харада.

Класификација група малог 2-ранга, а посебно оних са највише 2 рангом, користи се обичном и модуларном теоријом карактера, која се готово никада директно не користи другде у класификацији.

Све групе које нису малог 2 ранга могу се поделити у две главне класе: групе компонентног типа и групе карактеристичног 2 типа. То је зато што ако група има секцијски 2-ранг од најмање 5, тада је према Маквилијаму показано да су њене Сајлове 2-подгрупе повезане, а теорема равнотеже имплицира да је свака проста група са повезаним Сајловим 2-подгрупама било компонентног типа или карактеристичног 2 типа. (За групе са ниским 2 рангом, доказ се ово није одржив, јер су теореме попут теореме сигнализерског функтора применљиве само за групе са елементарним абеловским подгрупама ранка од најмање 3).

Литература

• Асцхбацхер, Мицхаел (2004). „Тхе Статус оф тхе Цлассифицатион оф тхе Фините Симпле Гроупс” (ПДФ). Нотицес оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. 51 (7). стр. 736—740. 
• Асцхбацхер, Мицхаел; Лyонс, Рицхард; Смитх, Степхен D.; Соломон, Роналд (2011), Тхе Цлассифицатион оф Фините Симпле Гроупс: Гроупс оф Цхарацтеристиц 2 Тyпе, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 172, ИСБН 978-0-8218-5336-8 
• Цонwаy, Јохн Хортон; Цуртис, Роберт Турнер; Нортон, Симон Пхиллипс; Паркер, Рицхард А; Wилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас оф Фините Гроупс: Маxимал Субгроупс анд Ординарy Цхарацтерс фор Симпле Гроупс, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 978-0-19-853199-9 
• Горенстеин, D. (1979), „Тхе цлассифицатион оф фините симпле гроупс. I. Симпле гроупс анд лоцал аналyсис”, Америцан Матхематицал Социетy. Буллетин. Неw Сериес, 1 (1): 43—199, ИССН 0002-9904, МР 513750, дои:10.1090/С0273-0979-1979-14551-8 
• Горенстеин, D. (1982), Фините симпле гроупс, Университy Сериес ин Матхематицс, Неw Yорк: Пленум Публисхинг Цорп., ИСБН 978-0-306-40779-6, МР 698782 
• Горенстеин, D. (1983), Тхе цлассифицатион оф фините симпле гроупс. Вол. 1. Гроупс оф нонцхарацтеристиц 2 тyпе, Тхе Университy Сериес ин Матхематицс, Пленум Пресс, ИСБН 978-0-306-41305-6, МР 746470 
• Даниел Горенстеин (1985), "Тхе Енормоус Тхеорем", Сциентифиц Америцан, Децембер 1, 1985, вол. 253, но. 6, пп. 104–115.
• Горенстеин, D. (1986), „Цлассифyинг тхе фините симпле гроупс”, Америцан Матхематицал Социетy. Буллетин. Неw Сериес, 14 (1): 1—98, ИССН 0002-9904, МР 818060, дои:10.1090/С0273-0979-1986-15392-9 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (1994), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0334-9, МР 1303592 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (1996), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 2. Парт I. Цхаптер Г, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0390-5, МР 1358135 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (1998), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 3. Парт I. Цхаптер А, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0391-2, МР 1490581 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (1999), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 4. Парт II, Цхаптерс 1-4: Униqуенесс Тхеоремс, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1379-9, МР 1675976 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (2002), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 5. Парт III. Цхаптерс 1–6, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2776-5, МР 1923000 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (2005), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 6. Парт IV: Тхе Специал Одд Цасе, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-2777-2, МР 2104668 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (2018), Тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс. Нумбер 7. Парт III, Цхаптерс 7–11: Тхе Генериц Цасе, Стагес 3б анд 4а, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-4069-6, МР 3752626 
• Горенстеин, D.; Лyонс, Рицхард; Соломон, Роналд (2018), Тхе Цлассифицатион оф тхе Фините Симпле Гроупс, Нумбер 8: Парт III, Цхаптерс 12–17: Тхе Генериц Цасе, Цомплетед, Матхематицал Сурвеyс анд Монограпхс, 40, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-1-4704-4189-0 
• Марк Ронан, Сyмметрy анд тхе Монстер, ISBN 978-0-19-280723-6, Оxфорд Университy Пресс, 2006. (Цонцисе интродуцтион фор лаy реадер)
• Марцус ду Саутоy, Финдинг Моонсхине, Фоуртх Естате, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (анотхер интродуцтион фор тхе лаy реадер)
• Рон Соломон (1995) "Он Фините Симпле Гроупс анд тхеир Цлассифицатион," Нотицес оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. (Нот тоо тецхницал анд гоод он хисторy)
• Соломон, Роналд (2001), „А бриеф хисторy оф тхе цлассифицатион оф тхе фините симпле гроупс” (ПДФ), Америцан Матхематицал Социетy. Буллетин. Неw Сериес, 38 (3): 315—352, ИССН 0002-9904, МР 1824893, дои:10.1090/С0273-0979-01-00909-0  – артицле wон Леви L. Цонант призе фор еxпоситион
• Тхомпсон, Јохн Г. (1984), „Фините нонсолвабле гроупс”, Ур.: Груенберг, К. W.; Росебладе, Ј. Е., Гроуп тхеорy. Ессаyс фор Пхилип Халл, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс, стр. 1—12, ИСБН 978-0-12-304880-6, МР 780566 
• Кнапп, Антхонy W. (2006), Басиц алгебра, Спрингер, ИСБН 978-0-8176-3248-9 
• Ротман, Јосепх Ј. (1995), Ан интродуцтион то тхе тхеорy оф гроупс, Градуате теxтс ин матхематицс, 148, Спрингер, ИСБН 978-0-387-94285-8 
• Смитх, Геофф; Табацхникова, Олга (2000), Топицс ин гроуп тхеорy, Спрингер ундерградуате матхематицс сериес (2 изд.), Спрингер, ИСБН 978-1-85233-235-8 
• Боурбаки, Н. (1974), Алгебра, Херманн, Парис; Аддисон-Wеслеy Публисхинг Цо., Реадинг Масс. 
• Исаацс, I. Мартин (1994), Алгебра: А Градуате Цоурсе, Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-19002-6 
• Касхиwара, Масаки; Сцхапира, Пиерре (2006), Цатегориес анд схеавес 

Спољашње везе

• ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
• Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups, Архивирано на сајту Wayback Machine (2. фебруар 2009)" Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Архивирано на сајту Wayback Machine (4. април 2005) Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 10¹⁰.
• In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?