Изоморфизам (математика)

Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.

ОсобинеУреди

Пресликавање   из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:

Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре   и   означава са  .

Практичан примерУреди

Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.

Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу  , логаритам   пресликава позитивне реалне бројеве   у реалне бројеве  ; формално:

 

Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.

Осим што је изоморфизам скупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу   позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:

 

Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе   у групу  .

Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу   бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу  , уређених парова где   координате могу бити 0 или 1, а   координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање  -координате је по модулу 2 а сабирање  -координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:

 
 
 
 
 
 

или уопштено  . На пример,   што се пресликава у други систем као  . Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе   и   је цикличан ако и само ако су   и   узајамно прости.

ЛитератураУреди

  • Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551.