Хилбертов простор

Хилбертов простор је математички концепт који генерализује еуклидски простор. У њему се методе векторске алгебре и анализе из еуклидске равни и еуклидског тродимензионалног простора проширују на простор са коначним или бесконачним бројем димензија. Добио је име по Давиду Хилберту.

Хилбертов простор се често појављује у математици, физици и инжењерству, типично као пресликавања бесконачног броја димензија.

Геометријске аналогије имају велики значај у разумевању теорије Хилбертових простора. За њих постоји еквивалентна Питагорина теорема и закон паралелограма.

Дефиниција

Хилбертов простор над пољем F у ознаци H(F) је векторски простор (над пољем F) са скаларним производом, потпун у односу на метрику d₂.

Особине

Хилбертов простор H је реалан или комплексан векторски простор који је истовремено и Кошијев метрички простор у односу на метричку функцију векторског производа. Какда кажемо да је H комплексни векторски простор, то значи да у H постоји производ 〈x,y〉 који пару елемената x,y из H, придружује комплексну вредност, при чему је:

• 〈y,x〉 је конјугован комплексан број од 〈x,y〉:

$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.$

• 〈x,y〉 је линеарна по првом аргументу. За све комплексне бројеве a и b,

$\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle .$

• Производ је позитивна билинеарна форма:

$\langle x,x\rangle \geq 0$

где знак једнакости важи за x = 0.

Реални векторски простор се дефинише на исти начин, осим што векторски производ има реалне вредности.

Интензитет вектора дефинише се као производ 〈•,•〉 у облику реалне функције:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$

а растојање између тачака x,y у H дефинише се помоћу интензитета на следећи начин:

$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.$

Ово је функција метрике, што значи да (1) да је симетрична по x и y, (2) да је растојање између x и x нула, а да су остала растојања између x и y позитивна, (3) да важи неједнакост троугла, што значи да дужина странице a у троуглу xyz не може бити дужа од збира преостале две странице:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

Последња особина је последица Коши-Шварцове неједнакости која тврди да:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$

где знак једнакости важи када су x и y линеарно зависни.

Када се функција удаљености дефинише на овај начин, као функција метрике, онда векторски простор постаје пре-Хилбертов простор. Сваки копмплетан пре-Хилбертов простор је Хилбертов простор. Комплетност се дефинише условом: ако за низ вектора важи $\textstyle {\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$ апсолутно конвергира тако да

$\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty ,$

тада низ конвергира у H, у смислу да парцијалне суме теже неком елементу H.

Као Кошијеви нормирани простори, Хилбертови простори су по дефиницији и Банахови простори. Они су и тополошки векторски простори у којима су дефинисаани тополошки појмови отворених и затворених подскупова.

Апсолутна конвергенција

Низ $\mathbf {x} _{n}$ који се састоји из вектора у F³ (где је F поље), апсолутно конвергира под условом да конвергира $\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|$, тј. да је $\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty .$ Такав низ конвергира ка неком вектору L у простору над пољем F, и то тако да важи: $\left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0$ када $N\to \infty .$

Слаба конвергенција

Низ ${x_{n}}$ слабо конвергира ка вектору $\omega$ ако за свако $y\in {\mathit {H}}$ бројни низ ${(x_{n},y)}$ конвергира ка $(\omega ,y)$.

Еуклидски простор

Еуклидски простор (R³) је Хилбертов простор који се састоји из тродимензионалних вектора у коме је дефинисан оператор производа. Оператор производа узима два вектора x и y као аргументе и као резултат даје реалан број x·y.

Оператор производа задовољава следеће услове:

1. Симетричан је у односу на x и y: x·y = y·x.
2. Линеаран је у односу на први аргумент: (ax'₁ + bx'₂)·y = ax'₁·y + bx'₂·y за било које скаларе a, b и векторе x₁, x₂ и y.
3. То је позитивна билинеарна форма: за све векторе x, x·x ≥ 0, где знак једнакости важи ако и само ако је x = 0.

Операција над паром вектора која задовољава ова три услова се назива скаларно множење вектора. Сваки векторски простор са коначним бројем димензија у коме је дефинисан скаларни производ представља Хилбертов простор. Карактеристика горедефинисаног оператора множења која га повезује са еуклидском геометријом је што зависи и од дужине (или интензитета) вектора, који се означава са ||x||, и од угла θ између вектора x и y. Та зависност се изражава формулом:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\|\mathbf {x} \|\,\|\mathbf {y} \|\,\cos \theta .$

Специјално, ако су x и y представљени у Декартовим координатама, онда се оператор производа дефинише као:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.$

Сепарабилан Хилбертов простор

Теорема: Хилбертов простор је сепарабилан акко садржи пребројиви ортонормирани скуп.

Литература

• Bachman, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2000), Fourier and wavelet analysis, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98899-3, MR 1729490 .
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1981), Partial differential equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2 .
• Bourbaki, Nicolas (1986), Spectral theories, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1 .
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2nd изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8 .
• Brenner, S.; Scott, R. L. (2005), The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6 .
• Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1998), One-dimensional variational problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, MR 1694383 .
• Clarkson, J. A. (1936), „Uniformly convex spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (3): 396—414, JSTOR 1989630, doi:10.2307/1989630 .
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience .
• Dieudonné, Jean (1960), Foundations of Modern Analysis, Academic Press .
• Dirac, P.A.M. (1930), Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Clarendon Press .
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Parts I and II, Wiley-Interscience .
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press .
• Folland, Gerald B. (2009), Fourier analysis and its application (Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992 изд.), American Mathematical Society Bookstore, ISBN 978-0-8218-4790-9 .
• Folland, Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2 .
• Fréchet, Maurice (1907), „Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1414—1416 .
• Fréchet, Maurice (1904—1907), Sur les opérations linéaires .
• Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2 .
• Grattan-Guinness, Ivor (2000), The search for mathematical roots, 1870–1940, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0, MR 1807717 .
• Halmos, Paul (1957), Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co 
• Halmos, Paul (1982), A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0 .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, New York: Springer-Verlag .
• Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang); von Neumann, John (1927), „Über die Grundlagen der Quantenmechanik”, Mathematische Annalen, 98: 1—30, doi:10.1007/BF01451579 
• Kac, Mark (1966), „Can one hear the shape of a drum?”, American Mathematical Monthly, 73 (4, part 2): 1—23, JSTOR 2313748, doi:10.2307/2313748 .
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997), Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I, Graduate Studies in Mathematics, 15, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0819-1, MR 1468229 .
• Kakutani, Shizuo (1939), „Some characterizations of Euclidean space”, Japanese Journal of Mathematics, 16: 93—97, MR 0000895 .
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 (3rd изд.), Oxford University Press (објављено 1990), ISBN 978-0-19-506137-6 .
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1970), Introductory Real Analysis (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) изд.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3 .
• Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6 .
• Lanczos, Cornelius (1988), Applied analysis (Reprint of 1956 Prentice-Hall изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4 .
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), „On the complemented subspaces problem”, Israel Journal of Mathematics, 9 (2): 263—269, ISSN 0021-2172, MR 0276734, doi:10.1007/BF02771592 .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abstract linear spaces”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. .
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars .
• B.M. Levitan (2001). „Hilbert space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Marsden, Jerrold E. (1974), Elementary classical analysis, W. H. Freeman and Co., MR 0357693 .
• von Neumann, John (1929), „Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”, Mathematische Annalen, 102: 49—131, doi:10.1007/BF01782338 .
• von Neumann, John (1932), „Physical Applications of the Ergodic Hypothesis”, Proc Natl Acad Sci USA, 18 (3): 263—266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, JSTOR 86260, PMC 1076204 , PMID 16587674, doi:10.1073/pnas.18.3.263 .
• von Neumann, John (1932), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press (објављено 1996), ISBN 978-0-691-02893-4, MR 1435976 .
• Prugovečki, Eduard (1981), Quantum mechanics in Hilbert space (2nd изд.), Dover (објављено 2006), ISBN 978-0-486-45327-9 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 9780125850025 .
• Riesz, Frigyes (1907), „Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1409—1411 .
• Riesz, Frigyes (1934), „Zur Theorie des Hilbertschen Raumes”, Acta Sci. Math. Szeged, 7: 34—38 .
• Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1990), Functional analysis, Dover, ISBN 978-0-486-66289-3 .
• Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill .
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9 .
• Saks, Stanisław (2005), Theory of the integral (2nd Dover изд.), Dover, ISBN 978-0-486-44648-6 ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
• Schmidt, Erhard (1908), „Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63—77, doi:10.1007/BF03029116 .
• Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 883081 .
• Sobrino, Luis (1996), Elements of non-relativistic quantum mechanics, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2386-1, MR 1626401 .
• Stewart, James (2006), Calculus: Concepts and Contexts (3rd изд.), Thomson/Brooks/Cole .
• Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08079-6 .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
• Streater, Ray; Wightman, Arthur (1964), PCT, Spin and Statistics and All That, W. A. Benjamin, Inc .
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. .
• Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions, part 1, Oxford University: Clarendon Press .
• Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press .
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
• Weidmann, Joachim (1980), Linear operators in Hilbert spaces, Graduate Texts in Mathematics, 68, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90427-6, MR 566954 .
• Weyl, Hermann (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics (English 1950 изд.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1 .
• Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024 .

Спољашње везе

• Хилбертов простор на Mathworld
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Hilbert space”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao