Hilbertov prostor

Hilbertov prostor je matematički koncept koji generalizuje euklidski prostor. U njemu se metode vektorske algebre i analize iz euklidske ravni i euklidskog trodimenzionalnog prostora proširuju na prostor sa konačnim ili beskonačnim brojem dimenzija. Dobio je ime po Davidu Hilbertu.

Hilbertov prostor se često pojavljuje u matematici, fizici i inženjerstvu, tipično kao preslikavanja beskonačnog broja dimenzija.

Geometrijske analogije imaju veliki značaj u razumevanju teorije Hilbertovih prostora. Za njih postoji ekvivalentna Pitagorina teorema i zakon paralelograma.

Definicija

Hilbertov prostor nad poljem F u oznaci H(F) je vektorski prostor (nad poljem F) sa skalarnim proizvodom, potpun u odnosu na metriku d₂.

Osobine

Hilbertov prostor H je realan ili kompleksan vektorski prostor koji je istovremeno i Košijev metrički prostor u odnosu na metričku funkciju vektorskog proizvoda. Kakda kažemo da je H kompleksni vektorski prostor, to znači da u H postoji proizvod 〈x,y〉 koji paru elemenata x,y iz H, pridružuje kompleksnu vrednost, pri čemu je:

• 〈y,x〉 je konjugovan kompleksan broj od 〈x,y〉:

$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}.$

• 〈x,y〉 je linearna po prvom argumentu. Za sve kompleksne brojeve a i b,

$\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle .$

• Proizvod je pozitivna bilinearna forma:

$\langle x,x\rangle \geq 0$

gde znak jednakosti važi za x = 0.

Realni vektorski prostor se definiše na isti način, osim što vektorski proizvod ima realne vrednosti.

Intenzitet vektora definiše se kao proizvod 〈•,•〉 u obliku realne funkcije:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},$

a rastojanje između tačaka x,y u H definiše se pomoću intenziteta na sledeći način:

$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}.$

Ovo je funkcija metrike, što znači da (1) da je simetrična po x i y, (2) da je rastojanje između x i x nula, a da su ostala rastojanja između x i y pozitivna, (3) da važi nejednakost trougla, što znači da dužina stranice a u trouglu xyz ne može biti duža od zbira preostale dve stranice:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

Poslednja osobina je posledica Koši-Švarcove nejednakosti koja tvrdi da:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|$

gde znak jednakosti važi kada su x i y linearno zavisni.

Kada se funkcija udaljenosti definiše na ovaj način, kao funkcija metrike, onda vektorski prostor postaje pre-Hilbertov prostor. Svaki kopmpletan pre-Hilbertov prostor je Hilbertov prostor. Kompletnost se definiše uslovom: ako za niz vektora važi $\textstyle {\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$ apsolutno konvergira tako da

$\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty ,$

tada niz konvergira u H, u smislu da parcijalne sume teže nekom elementu H.

Kao Košijevi normirani prostori, Hilbertovi prostori su po definiciji i Banahovi prostori. Oni su i topološki vektorski prostori u kojima su definisaani topološki pojmovi otvorenih i zatvorenih podskupova.

Apsolutna konvergencija

Niz $\mathbf {x} _{n}$ koji se sastoji iz vektora u F³ (gde je F polje), apsolutno konvergira pod uslovom da konvergira $\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|$, tj. da je $\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty .$ Takav niz konvergira ka nekom vektoru L u prostoru nad poljem F, i to tako da važi: $\left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|\to 0$ kada $N\to \infty .$

Slaba konvergencija

Niz ${x_{n}}$ slabo konvergira ka vektoru $\omega$ ako za svako $y\in {\mathit {H}}$ brojni niz ${(x_{n},y)}$ konvergira ka $(\omega ,y)$.

Euklidski prostor

Euklidski prostor (R³) je Hilbertov prostor koji se sastoji iz trodimenzionalnih vektora u kome je definisan operator proizvoda. Operator proizvoda uzima dva vektora x i y kao argumente i kao rezultat daje realan broj x·y.

Operator proizvoda zadovoljava sledeće uslove:

1. Simetričan je u odnosu na x i y: x·y = y·x.
2. Linearan je u odnosu na prvi argument: (ax'₁ + bx'₂)·y = ax'₁·y + bx'₂·y za bilo koje skalare a, b i vektore x₁, x₂ i y.
3. To je pozitivna bilinearna forma: za sve vektore x, x·x ≥ 0, gde znak jednakosti važi ako i samo ako je x = 0.

Operacija nad parom vektora koja zadovoljava ova tri uslova se naziva skalarno množenje vektora. Svaki vektorski prostor sa konačnim brojem dimenzija u kome je definisan skalarni proizvod predstavlja Hilbertov prostor. Karakteristika goredefinisanog operatora množenja koja ga povezuje sa euklidskom geometrijom je što zavisi i od dužine (ili intenziteta) vektora, koji se označava sa ||x||, i od ugla θ između vektora x i y. Ta zavisnost se izražava formulom:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\|\mathbf {x} \|\,\|\mathbf {y} \|\,\cos \theta .$

Specijalno, ako su x i y predstavljeni u Dekartovim koordinatama, onda se operator proizvoda definiše kao:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.$

Separabilan Hilbertov prostor

Teorema: Hilbertov prostor je separabilan akko sadrži prebrojivi ortonormirani skup.

Литература

• Bachman, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2000), Fourier and wavelet analysis, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98899-3, MR 1729490 .
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1981), Partial differential equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2 .
• Bourbaki, Nicolas (1986), Spectral theories, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-201-00767-1 .
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C (1991), A History of Mathematics (2nd изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8 .
• Brenner, S.; Scott, R. L. (2005), The Mathematical Theory of Finite Element Methods (2nd изд.), Springer, ISBN 978-0-387-95451-6 .
• Buttazzo, Giuseppe; Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1998), One-dimensional variational problems, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850465-8, MR 1694383 .
• Clarkson, J. A. (1936), „Uniformly convex spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (3): 396—414, JSTOR 1989630, doi:10.2307/1989630 .
• Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience .
• Dieudonné, Jean (1960), Foundations of Modern Analysis, Academic Press .
• Dirac, P.A.M. (1930), Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Clarendon Press .
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Parts I and II, Wiley-Interscience .
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press .
• Folland, Gerald B. (2009), Fourier analysis and its application (Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992 изд.), American Mathematical Society Bookstore, ISBN 978-0-8218-4790-9 .
• Folland, Gerald B. (1989), Harmonic analysis in phase space, Annals of Mathematics Studies, 122, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08527-2 .
• Fréchet, Maurice (1907), „Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1414—1416 .
• Fréchet, Maurice (1904—1907), Sur les opérations linéaires .
• Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, World Scientific, ISBN 978-981-238-043-2 .
• Grattan-Guinness, Ivor (2000), The search for mathematical roots, 1870–1940, Princeton Paperbacks, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05858-0, MR 1807717 .
• Halmos, Paul (1957), Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co 
• Halmos, Paul (1982), A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0 .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, New York: Springer-Verlag .
• Hilbert, David; Nordheim, Lothar (Wolfgang); von Neumann, John (1927), „Über die Grundlagen der Quantenmechanik”, Mathematische Annalen, 98: 1—30, doi:10.1007/BF01451579 
• Kac, Mark (1966), „Can one hear the shape of a drum?”, American Mathematical Monthly, 73 (4, part 2): 1—23, JSTOR 2313748, doi:10.2307/2313748 .
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997), Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I, Graduate Studies in Mathematics, 15, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0819-1, MR 1468229 .
• Kakutani, Shizuo (1939), „Some characterizations of Euclidean space”, Japanese Journal of Mathematics, 16: 93—97, MR 0000895 .
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 (3rd изд.), Oxford University Press (објављено 1990), ISBN 978-0-19-506137-6 .
• Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1970), Introductory Real Analysis (Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975) изд.), Dover Press, ISBN 978-0-486-61226-3 .
• Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of Several Complex Variables, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2724-6 .
• Lanczos, Cornelius (1988), Applied analysis (Reprint of 1956 Prentice-Hall изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-65656-4 .
• Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. (1971), „On the complemented subspaces problem”, Israel Journal of Mathematics, 9 (2): 263—269, ISSN 0021-2172, MR 0276734, doi:10.1007/BF02771592 .
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Abstract linear spaces”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. .
• Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars .
• B.M. Levitan (2001). „Hilbert space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• Marsden, Jerrold E. (1974), Elementary classical analysis, W. H. Freeman and Co., MR 0357693 .
• von Neumann, John (1929), „Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren”, Mathematische Annalen, 102: 49—131, doi:10.1007/BF01782338 .
• von Neumann, John (1932), „Physical Applications of the Ergodic Hypothesis”, Proc Natl Acad Sci USA, 18 (3): 263—266, Bibcode:1932PNAS...18..263N, JSTOR 86260, PMC 1076204 , PMID 16587674, doi:10.1073/pnas.18.3.263 .
• von Neumann, John (1932), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press (objavljeno 1996), ISBN 978-0-691-02893-4, MR 1435976 .
• Prugovečki, Eduard (1981), Quantum mechanics in Hilbert space (2nd izd.), Dover (objavljeno 2006), ISBN 978-0-486-45327-9 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Functional Analysis, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 978-0-12-585050-6 .
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press, ISBN 9780125850025 .
• Riesz, Frigyes (1907), „Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables”, C. R. Acad. Sci. Paris, 144: 1409—1411 .
• Riesz, Frigyes (1934), „Zur Theorie des Hilbertschen Raumes”, Acta Sci. Math. Szeged, 7: 34—38 .
• Riesz, Frigyes; Sz.-Nagy, Béla (1990), Functional analysis, Dover, ISBN 978-0-486-66289-3 .
• Rudin, Walter (1973), Functional analysis, Tata MacGraw-Hill .
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9 .
• Saks, Stanisław (2005), Theory of the integral (2nd Dover izd.), Dover, ISBN 978-0-486-44648-6 ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
• Schmidt, Erhard (1908), „Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 25: 63—77, doi:10.1007/BF03029116 .
• Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 883081 .
• Sobrino, Luis (1996), Elements of non-relativistic quantum mechanics, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2386-1, MR 1626401 .
• Stewart, James (2006), Calculus: Concepts and Contexts (3rd izd.), Thomson/Brooks/Cole .
• Stein, E (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08079-6 .
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
• Streater, Ray; Wightman, Arthur (1964), PCT, Spin and Statistics and All That, W. A. Benjamin, Inc .
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. .
• Titchmarsh, Edward Charles (1946), Eigenfunction expansions, part 1, Oxford University: Clarendon Press .
• Trèves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press .
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
• Weidmann, Joachim (1980), Linear operators in Hilbert spaces, Graduate Texts in Mathematics, 68, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90427-6, MR 566954 .
• Weyl, Hermann (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics (English 1950 izd.), Dover Press, ISBN 978-0-486-60269-1 .
• Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024 .

Spoljašnje veze

• Hilbertov prostor na Mathworld
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Hilbert space”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao