Теорија вероватноће

Теорија вероватноће је грана математике која се бави анализом случајних феномена. Кључни објекти који се разматрају у теорији вероватноће су случајне променљиве, стохастички процеси, и догађаји: математичке апстракције недетерминистичких догађаја или мерљивих количина. Иако је бацање новчића или нумерисане коцке случајан догађај, ако се понови много пута, низ ових случајних догађаја ће испољити одређене статистичке правилности, које се могу проучавати и предвиђати. Две кључне математичке теореме које описују овакво понашање су закон великих бројева и централна гранична теорема.

Као математичка основа статистике, теорија вероватноће је од велике важности за многе људске активности које укључују квантитативну анализу великих скупова података. Методе теорије вероватноће се такође примењују и на описивање комплексних система на основу само делимичног познавања њиховог стања, као у статистичкој механици. Велико откриће у области физике у 20. веку је била пробабилистичка природа физичких феномена на атомском нивоу, коју описује квантна механика.

Математичко представљање вероватноће

Математички, вероватноћа је дефинисана простором вероватноће названим $\Omega$ (омега), што представља скуп свих могућих исхода једног експеримента вероватноће. Нека је $s$ број могућих исхода, на пример, бацања новчића. Простор вероватноће $\Omega$ овде садржи осам могућих исхода: $\{(GGG),(GGP),(GPG),(GPP),(PGG),(PGP),(PPG),(PPP)\}$, где $G$ представља главе а $P$ писма. Један исход вероватноће је подскуп простора вероватноће $\Omega$. Нотација за ограничавање једног простора вероватноће су витичасте заграде $\{\}$.

Простор вероватноће

О вероватноћама се говори једино у спрези са конципираним (не неопходно изведеним) експериментима и прво се морају дефинисати њихови могући исходи. Рецимо, по здоговору, бацање новчића као резултат даје главу или писмо; без обзира на експерименталне и друге потешкоће, за старост једне особе је узет тачно један број и сваки позитивни број се узима као могућа старост. Бацање две коцкице резултује једном од 36 могућих комбинација (1,1), (1,2), ... , (6,6). Један могући исход као што је, на пример, ”сума 4” је сложени исход који се даље може разложити набрајањем: Сума 4 се јавља уколико је исход бацања коцкица (1,3), (2,2), или (3,1). Стога је врло битно правити разлику између елементарних (недељивих) и сложених (дељивих) исхода или догађаја. Сваки елементарни исход се зове тачка узорка, а њихов додатак представља простор узорка исхода или простор вероватноће догађаја у сложенијим експериментима. Конципирани експеримент је дефинисан простором узорка и мора га се описати и засновати на самом почетку.

На пример, експеримент ”расподеле три кугле у три ћелије” има 27 могућих исхода, (тачака узорка) приказаних у табели:

Експеримент ”расподела три кугле у три ћелије”

1. $\{{\text{abc}}|-|-\}$	10. $\{{\text{a}}|{\text{bc}}|-\}$	19. $\{-|{\text{a}}|{\text{bc}}\}$
2. $\{-|{\text{abc}}|-\}$	11. $\{{\text{b}}|{\text{ac}}|-\}$	20. $\{-|{\text{b}}|{\text{ac}}\}$
3. $\{-|-|{\text{abc}}\}$	12. $\{{\text{c}}|{\text{ab}}|-\}$	21. $\{-|{\text{c}}|{\text{ab}}\}$
4. $\{{\text{ab}}|{\text{c}}|-\}$	13. $\{{\text{a}}|-|{\text{bc}}\}$	22. $\{{\text{a}}|{\text{b}}|{\text{c}}\}$
5. $\{{\text{ac}}|{\text{b}}|-\}$	14. $\{{\text{b}}|-|{\text{ac}}\}$	23. $\{{\text{a}}|{\text{c}}|{\text{b}}\}$
6. $\{{\text{bc}}|{\text{a}}|-\}$	15. $\{{\text{c}}|-|{\text{ab}}\}$	24. $\{{\text{b}}|{\text{a}}|{\text{c}}\}$
7. $\{{\text{ab}}|-|{\text{c}}\}$	16. $\{-|{\text{ab}}|{\text{c}}\}$	25. $\{{\text{b}}|{\text{c}}|{\text{a}}\}$
8. $\{{\text{ac}}|-|{\text{b}}\}$	17. $\{-|{\text{ac}}|{\text{b}}\}$	26. $\{{\text{c}}|{\text{a}}|{\text{b}}\}$
9. $\{{\text{bc}}|-|{\text{a}}\}$	18. $\{-|{\text{bc}}|{\text{a}}\}$	27. $\{{\text{c}}|{\text{b}}|{\text{a}}\}$

Видимо да ”$n$ кугли у 7 ћелија” могу представљати расподелу од $n$ погодака међу 7 циљева, а пример се може проширити на многе друге ситуације, рецимо $n$ несрећа у 7 дана у недељи, итд.

Узмимо наредни експеримент у коме распоређујемо три идентичне кугле у три ћелије. Да ли их је могуће међусобно разликовати је нерелевантно; третирамо их као такве по здоговору и сада имамо само 10 тачака узорка приказаних у табели:

Експеримент ”расподела три идентичне кугле у три ћелије”

1. $\{***|-|-\}$	4. $\{**|*|-\}$	8. $\{-|**|*\}$
2. $\{-|***|-\}$	5. $\{**|-|*\}$	9. $\{-|*|**\}$
3. $\{-|-|***\}$	6. $\{*|**|-\}$	10. $\{*|*|*\}$
	7. $\{*|-|**\}$

У игри рулета, свака тачка на кружници представља могући исход, а простор узорка је интервал $0\leqq \vartheta <2\pi$. У посматрању кретања честице у расејању, свака функција $x(t)$ представља један разуман исход а простор узорка је компликовани простор функције.

Исходи вероватноће

Разматрањем једне руке покера, можемо се запитати да ли садржи кеца или задовољава неки други услов. У принципу сваки такав исход се може описати спецификацијом тачака узорка које задовољавају задати услов. Тако, сваки сложени исход је представљен додатком тачака узорка и у теорији вероватноће ти појмови су синоними. За опис односа међу исходима користи се стандардна нотација из теорије скупова.

Литература

• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
• A. Kolmogoroff (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. ISBN 978-3-642-49888-6. doi:10.1007/978-3-642-49888-6. 
• Billingsley, Patrick (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. 
• Olav Kallenberg; (2002). Foundations of Modern Probability, (2nd изд.). ISBN 978-0-387-95313-7.  Springer Series in Statistics. 650 pp.
• Tijms, Henk (2004). Understanding Probability. Cambridge University Press. 
• Olav Kallenberg; (2005). Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. ISBN 978-0-387-25115-8. . Springer -Verlag, New York 510 pp.
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22833-4. 
• Olofsson, Peter (2005). Probability, Statistics, and Stochastic Processes. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-67969-0. . 504 pp .
• Bárány, Imre; Vu, Van (2007). „Central limit theorems for Gaussian polytopes”. Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics. 35 (4): 1593—1621. S2CID 9128253. arXiv:math/0610192 . doi:10.1214/009117906000000791. 
• Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory. Berlin: de Gruyter. ISBN 3110167190. 
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (3rd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. 
• Bradley, Richard (2007). Introduction to Strong Mixing Conditions (1st изд.). Heber City, UT: Kendrick Press. ISBN 978-0-9740427-9-4. 
• Bradley, Richard (2005). „Basic Properties of Strong Mixing Conditions. A Survey and Some Open Questions”. Probability Surveys. 2: 107—144. Bibcode:2005math.....11078B. S2CID 8395267. arXiv:math/0511078 . doi:10.1214/154957805100000104. 
• Dinov, Ivo; Christou, Nicolas; Sanchez, Juana (2008). „Central Limit Theorem: New SOCR Applet and Demonstration Activity”. Journal of Statistics Education. ASA. 16 (2): 1—15. PMC 3152447 . PMID 21833159. doi:10.1080/10691898.2008.11889560. 
• Durrett, Richard (2004). Probability: theory and examples (3rd изд.). Cambridge University Press. ISBN 0521765390. 
• Gaposhkin, V. F. (1966). „Lacunary series and independent functions”. Russian Mathematical Surveys. 21 (6): 1—82. Bibcode:1966RuMaS..21....1G. doi:10.1070/RM1966v021n06ABEH001196. .
• Klartag, Bo'az (2007). „A central limit theorem for convex sets”. Inventiones Mathematicae. 168 (1): 91—131. Bibcode:2007InMat.168...91K. S2CID 119169773. arXiv:math/0605014 . doi:10.1007/s00222-006-0028-8. 
• Klartag, Bo'az (2008). „A Berry–Esseen type inequality for convex bodies with an unconditional basis”. Probability Theory and Related Fields. 145 (1–2): 1—33. S2CID 10163322. arXiv:0705.0832 . doi:10.1007/s00440-008-0158-6. 
• Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-853665-8. 
• Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen. ISBN 87-91180-71-6. 
• Loève, Michel (1977). Probability theory 1 (4th изд.). Springer Verlag. 
• Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. Handbook of econometrics, vol. IV, Ch. 36. Elsevier Science. стр. 2111—2245. 
• Ross, Sheldon (2009). A first course in probability (8th изд.). Prentice Hall press. ISBN 978-0-13-603313-4. 
• Sen, P. K; Singer, J. M. (1993). Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc. 
• Seneta, Eugene (2013), „A Tricentenary history of the Law of Large Numbers”, Bernoulli, 19 (4): 1088—1121, arXiv:1309.6488 , doi:10.3150/12-BEJSP12 

Спољашње везе

• Probability Theory demonstrated in the Galton Board
• Animation на сајту YouTube on the probability space of dice.
• -author= -
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (University of Ala.-Huntsville)
• Probability and Statistics EBook
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). – „HTML index with links to PostScript files”.  and PDF (first three chapters)
• People from the History of Probability and Statistics (University of Southampton)
• Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (University of Southampton)
• Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
• „Introduction to Probability – eBook”.  Архивирано 27 јул 2011 на сајту Wayback Machine, by Charles Grinstead, Laurie Snell „Source”.  Архивирано 25 март 2012 на сајту Wayback Machine (GNU Free Documentation License)
• Richard Feynman's Lecture on probability.