Teorija verovatnoće

Teorija verovatnoće je grana matematike koja se bavi analizom slučajnih fenomena. Ključni objekti koji se razmatraju u teoriji verovatnoće su slučajne promenljive, stohastički procesi, i događaji: matematičke apstrakcije nedeterminističkih događaja ili merljivih količina. Iako je bacanje novčića ili numerisane kocke slučajan događaj, ako se ponovi mnogo puta, niz ovih slučajnih događaja će ispoljiti određene statističke pravilnosti, koje se mogu proučavati i predviđati. Dve ključne matematičke teoreme koje opisuju ovakvo ponašanje su zakon velikih brojeva i centralna granična teorema.

Kao matematička osnova statistike, teorija verovatnoće je od velike važnosti za mnoge ljudske aktivnosti koje uključuju kvantitativnu analizu velikih skupova podataka. Metode teorije verovatnoće se takođe primenjuju i na opisivanje kompleksnih sistema na osnovu samo delimičnog poznavanja njihovog stanja, kao u statističkoj mehanici. Veliko otkriće u oblasti fizike u 20. veku je bila probabilistička priroda fizičkih fenomena na atomskom nivou, koju opisuje kvantna mehanika.

Matematičko predstavljanje verovatnoće

Matematički, verovatnoća je definisana prostorom verovatnoće nazvanim $\Omega$ (omega), što predstavlja skup svih mogućih ishoda jednog eksperimenta verovatnoće. Neka je $s$ broj mogućih ishoda, na primer, bacanja novčića. Prostor verovatnoće $\Omega$ ovde sadrži osam mogućih ishoda: $\{(GGG),(GGP),(GPG),(GPP),(PGG),(PGP),(PPG),(PPP)\}$, gde $G$ predstavlja glave a $P$ pisma. Jedan ishod verovatnoće je podskup prostora verovatnoće $\Omega$. Notacija za ograničavanje jednog prostora verovatnoće su vitičaste zagrade $\{\}$.

Prostor verovatnoće

O verovatnoćama se govori jedino u sprezi sa koncipiranim (ne neophodno izvedenim) eksperimentima i prvo se moraju definisati njihovi mogući ishodi. Recimo, po zdogovoru, bacanje novčića kao rezultat daje glavu ili pismo; bez obzira na eksperimentalne i druge poteškoće, za starost jedne osobe je uzet tačno jedan broj i svaki pozitivni broj se uzima kao moguća starost. Bacanje dve kockice rezultuje jednom od 36 mogućih kombinacija (1,1), (1,2), ... , (6,6). Jedan mogući ishod kao što je, na primer, ”suma 4” je složeni ishod koji se dalje može razložiti nabrajanjem: Suma 4 se javlja ukoliko je ishod bacanja kockica (1,3), (2,2), ili (3,1). Stoga je vrlo bitno praviti razliku između elementarnih (nedeljivih) i složenih (deljivih) ishoda ili događaja. Svaki elementarni ishod se zove tačka uzorka, a njihov dodatak predstavlja prostor uzorka ishoda ili prostor verovatnoće događaja u složenijim eksperimentima. Koncipirani eksperiment je definisan prostorom uzorka i mora ga se opisati i zasnovati na samom početku.

Na primer, eksperiment ”raspodele tri kugle u tri ćelije” ima 27 mogućih ishoda, (tačaka uzorka) prikazanih u tabeli:

Eksperiment ”raspodela tri kugle u tri ćelije”

1. $\{{\text{abc}}|-|-\}$	10. $\{{\text{a}}|{\text{bc}}|-\}$	19. $\{-|{\text{a}}|{\text{bc}}\}$
2. $\{-|{\text{abc}}|-\}$	11. $\{{\text{b}}|{\text{ac}}|-\}$	20. $\{-|{\text{b}}|{\text{ac}}\}$
3. $\{-|-|{\text{abc}}\}$	12. $\{{\text{c}}|{\text{ab}}|-\}$	21. $\{-|{\text{c}}|{\text{ab}}\}$
4. $\{{\text{ab}}|{\text{c}}|-\}$	13. $\{{\text{a}}|-|{\text{bc}}\}$	22. $\{{\text{a}}|{\text{b}}|{\text{c}}\}$
5. $\{{\text{ac}}|{\text{b}}|-\}$	14. $\{{\text{b}}|-|{\text{ac}}\}$	23. $\{{\text{a}}|{\text{c}}|{\text{b}}\}$
6. $\{{\text{bc}}|{\text{a}}|-\}$	15. $\{{\text{c}}|-|{\text{ab}}\}$	24. $\{{\text{b}}|{\text{a}}|{\text{c}}\}$
7. $\{{\text{ab}}|-|{\text{c}}\}$	16. $\{-|{\text{ab}}|{\text{c}}\}$	25. $\{{\text{b}}|{\text{c}}|{\text{a}}\}$
8. $\{{\text{ac}}|-|{\text{b}}\}$	17. $\{-|{\text{ac}}|{\text{b}}\}$	26. $\{{\text{c}}|{\text{a}}|{\text{b}}\}$
9. $\{{\text{bc}}|-|{\text{a}}\}$	18. $\{-|{\text{bc}}|{\text{a}}\}$	27. $\{{\text{c}}|{\text{b}}|{\text{a}}\}$

Vidimo da ”$n$ kugli u 7 ćelija” mogu predstavljati raspodelu od $n$ pogodaka među 7 ciljeva, a primer se može proširiti na mnoge druge situacije, recimo $n$ nesreća u 7 dana u nedelji, itd.

Uzmimo naredni eksperiment u kome raspoređujemo tri identične kugle u tri ćelije. Da li ih je moguće međusobno razlikovati je nerelevantno; tretiramo ih kao takve po zdogovoru i sada imamo samo 10 tačaka uzorka prikazanih u tabeli:

Eksperiment ”raspodela tri identične kugle u tri ćelije”

1. $\{***|-|-\}$	4. $\{**|*|-\}$	8. $\{-|**|*\}$
2. $\{-|***|-\}$	5. $\{**|-|*\}$	9. $\{-|*|**\}$
3. $\{-|-|***\}$	6. $\{*|**|-\}$	10. $\{*|*|*\}$
	7. $\{*|-|**\}$

U igri ruleta, svaka tačka na kružnici predstavlja mogući ishod, a prostor uzorka je interval $0\leqq \vartheta <2\pi$. U posmatranju kretanja čestice u rasejanju, svaka funkcija $x(t)$ predstavlja jedan razuman ishod a prostor uzorka je komplikovani prostor funkcije.

Ishodi verovatnoće

Razmatranjem jedne ruke pokera, možemo se zapitati da li sadrži keca ili zadovoljava neki drugi uslov. U principu svaki takav ishod se može opisati specifikacijom tačaka uzorka koje zadovoljavaju zadati uslov. Tako, svaki složeni ishod je predstavljen dodatkom tačaka uzorka i u teoriji verovatnoće ti pojmovi su sinonimi. Za opis odnosa među ishodima koristi se standardna notacija iz teorije skupova.

Literatura

• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
• A. Kolmogoroff (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. ISBN 978-3-642-49888-6. doi:10.1007/978-3-642-49888-6. 
• Billingsley, Patrick (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. 
• Olav Kallenberg; (2002). Foundations of Modern Probability, (2nd izd.). ISBN 978-0-387-95313-7.  Springer Series in Statistics. 650 pp.
• Tijms, Henk (2004). Understanding Probability. Cambridge University Press. 
• Olav Kallenberg; (2005). Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. ISBN 978-0-387-25115-8. . Springer -Verlag, New York 510 pp.
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22833-4. 
• Olofsson, Peter (2005). Probability, Statistics, and Stochastic Processes. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-67969-0. . 504 pp .
• Bárány, Imre; Vu, Van (2007). „Central limit theorems for Gaussian polytopes”. Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics. 35 (4): 1593—1621. S2CID 9128253. arXiv:math/0610192 . doi:10.1214/009117906000000791. 
• Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory. Berlin: de Gruyter. ISBN 3110167190. 
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (3rd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2. 
• Bradley, Richard (2007). Introduction to Strong Mixing Conditions (1st izd.). Heber City, UT: Kendrick Press. ISBN 978-0-9740427-9-4. 
• Bradley, Richard (2005). „Basic Properties of Strong Mixing Conditions. A Survey and Some Open Questions”. Probability Surveys. 2: 107—144. Bibcode:2005math.....11078B. S2CID 8395267. arXiv:math/0511078 . doi:10.1214/154957805100000104. 
• Dinov, Ivo; Christou, Nicolas; Sanchez, Juana (2008). „Central Limit Theorem: New SOCR Applet and Demonstration Activity”. Journal of Statistics Education. ASA. 16 (2): 1—15. PMC 3152447 . PMID 21833159. doi:10.1080/10691898.2008.11889560. 
• Durrett, Richard (2004). Probability: theory and examples (3rd izd.). Cambridge University Press. ISBN 0521765390. 
• Gaposhkin, V. F. (1966). „Lacunary series and independent functions”. Russian Mathematical Surveys. 21 (6): 1—82. Bibcode:1966RuMaS..21....1G. doi:10.1070/RM1966v021n06ABEH001196. .
• Klartag, Bo'az (2007). „A central limit theorem for convex sets”. Inventiones Mathematicae. 168 (1): 91—131. Bibcode:2007InMat.168...91K. S2CID 119169773. arXiv:math/0605014 . doi:10.1007/s00222-006-0028-8. 
• Klartag, Bo'az (2008). „A Berry–Esseen type inequality for convex bodies with an unconditional basis”. Probability Theory and Related Fields. 145 (1–2): 1—33. S2CID 10163322. arXiv:0705.0832 . doi:10.1007/s00440-008-0158-6. 
• Grimmett, G. R.; Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-853665-8. 
• Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen. ISBN 87-91180-71-6. 
• Loève, Michel (1977). Probability theory 1 (4th izd.). Springer Verlag. 
• Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. Handbook of econometrics, vol. IV, Ch. 36. Elsevier Science. str. 2111—2245. 
• Ross, Sheldon (2009). A first course in probability (8th izd.). Prentice Hall press. ISBN 978-0-13-603313-4. 
• Sen, P. K; Singer, J. M. (1993). Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc. 
• Seneta, Eugene (2013), „A Tricentenary history of the Law of Large Numbers”, Bernoulli, 19 (4): 1088—1121, arXiv:1309.6488 , doi:10.3150/12-BEJSP12 

Spoljašnje veze

• Probability Theory demonstrated in the Galton Board
• Animation na sajtu YouTube on the probability space of dice.
• -author= -
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (University of Ala.-Huntsville)
• Probability and Statistics EBook
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). – „HTML index with links to PostScript files”. Arhivirano iz originala 19. 01. 2016. g. CS1 održavanje: Nepodoban URL (veza) and PDF (first three chapters)
• People from the History of Probability and Statistics (University of Southampton)
• Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (University of Southampton)
• Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
• „Introduction to Probability – eBook”. Arhivirano iz originala 27. 07. 2011. g. , by Charles Grinstead, Laurie Snell „Source”. Arhivirano iz originala 25. 03. 2012. g.  (GNU Free Documentation License)
• Richard Feynman's Lecture on probability.