Studentova t-raspodela

У вероватноћи и статистици, Студентова т-расподела (или једноставно т-расподела) је било који члан фамилије континуарних расподела вероватноће које настају из процењивања средње вредности нормалне расподеле популације у ситуацијама где је величина узорка мала и популациона стандардна девијација није позната. Ову расподелу је развио Вилијам Госет под псеудонимом Студент.

Студентова т

Функција густине вероватноће
Функција кумулативне расподеле
Параметри	$\nu >0$ степени слободе (реалних)
Носитељ	$x\in (-\infty ,\infty )$
ПДФ	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
ЦДФ	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$ где је 2Ф1 хипергеометријска функција
Просек	0 за $\nu >1$, иначе недефинисана
Медијана	0
Модус	0
Варијанса	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ за $\nu >2$, ∞ за $1<\nu \leq 2$, иначе недефинисана
Коеф. асиметрије	0 за $\nu >3$, иначе недефинисана
Куртоза	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ за $\nu >4$, ∞ за $2<\nu \leq 4$, иначе недефинисана
Ентропија	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}$ ψ: дигама функција, Б: бета функција
МГФ	недефинисано
ЦФ	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ за $\nu >0$ $K_{\nu }(x)$: модификована Безелова функција друге врсте

т-Расподела игра улогу у великом броју широко кориштених статистичких анализа, укључујући Студентов т-тест за процену статистичке важности разлике између две средње вредности узорка, изградњу интервала поузданости за разлику између две популацијске средине, и у линеарној регресионој анализи. Студентова т-дистрибуција се такође појављује у Бајесовој анализи података из нормалне породице.

Ако се узме узорак са n опажања из нормалне расподеле, онда се т-расподела са $\nu =n-1$ степени слободе може дефинисати као расподела локација средње вредности узорка у односу на праву средину, подељена са стандардном девијацијом узорка, након што се помножи са стандардизационим чланом ${\sqrt {n}}$. На тај се начин, т-расподела се може користити за изградњу интервала поузданости за праву средину.

т-Расподела је симетрична и звонастог облика, попут нормалне расподеле, али има теже репове, што значи да је склонија стварању вредности које падају далеко од средње вредности. Ово је корисно за разумевање статистичког понашања одређених врста односа случајних величина, у којима је варијација у делиоцу појачана и може да произведе удаљене вредности када бројилац односа падне близу нуле. Студентова т-расподела је посебан случај генерализоване хиперболичне расподеле.

Историја и етимологија

Статистичар Wилијам Сили Госет, познат као „Студент”

У статистици, т-расподелу су први извели као постериорну расподелу Хелмерт и Лирот 1876. године. т-Расподела се исто тако појавила у општијој форми као Пирсонова расподела типа IV у публикацији Карла Пирсона из 1895. године.

У литиратури на енглеском језику ова расподела носи име из публикације Вилијама Госета из 1908. године у часопису Биометрика објављене под псеудонимом „Студент”. Госет је радио у Гинисовој пивари у Даблину у Ирској, и био је заинтересован за проблеме малих узорака – на пример, хемијских својства јечма где величина узорка може да буде само 3. Једна верзија порекла псеудонима је да је Госетов послодавац преферирао да запослени користе књижевне псеудониме кад објављују научне радове уместо својих стварних имена, тако да је он користио име „Студент” да би прикрио свој идентитет. Друга верзија је да Гинис није желео да његови конкуренти знају да они користе т-тест за одређивање квалитета сировина.

Госетова публикација назива ову расподелу „фреквенција дистрибуције стандардних девијација узорака узетих из нормалне популације”. Она је постала добро позната захваљујући раду Роналда Фишера, који је називао ову расподелу „Студентова расподела” и представљао тестне вредности словом т.

Настанак Студентове расподеле из узорковања

Нека је ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независно и идентично расподељени као $N(\mu ,\sigma ^{2})$, и.е. ово је узорак величине $n$ из нормално расподељене популације са очекиваном средњом вредношћу $\mu$ и варијансом $\sigma ^{2}$.

Нека је

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

средња вредности узорка и нека је

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

(коригована по Беселу) варијанса узорка. Онда рандомна променљива

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

има стандардну нормалну расподелу (и.е. нормалну са очекиваном вредности 0 и варијансом 1), и рандомна промењива

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}},$

где је $S$ супституисано за $\sigma$, има Студентову т-расподелу са $n-1$ степени слободе. Бројилац и делилац у претходном изразу су независне рандмне променљиве упркос тога што се заснивају на истом узорку ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

Дефиниција

Функција густине вероватноће

Студентова т-расподела има функцију расподеле дату са

$f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!$

где је $\nu$ број степени слободе и $\Gamma$ је гама функција. Ово се исто тако може написати као

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}}\!,$

где је Б Бета функција. За целобројне вредности степена слободе $\nu$ важи:

За $\nu >1$ парно,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot$

За $\nu >1$ непарно,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!$

Функција густине вероватноће је симетрична, и њен свеукупни облик подсећа на звонасти облик променљиве са нормалном расподелом са средњом вредности од 0 и варијансом од 1, изузев што је нешто нижа и шира. Са порастом броја степени слободе, т-расподела прилази нормалној расподели са средњом вредности 0 и варијансом 1. Из тог разлога ${\nu }$ је исто тако познато као параметар нормалности.

Следеће слике приказују густину т-расподеле за повећане вредности од $\nu$. Нормална расподела је приказана плавом линијом ради поређења. Треба уочити да т-расподела (црвена линија) постаје ближа нормалној расподели са повећањем $\nu$.

Густина т-расподеле (црвено) за 1, 2, 3, 5, 10, и 30 степени слободе у поређењу са стандардном нормалном дистрибуцијом (плаво).
Претходни графикони су приказани зелено.

1 степен слободе	2 степена слободе	3 степена слободе
5 степени слободе	10 степени слободе	30 степени слободе

Функција кумулативне расподеле

Функција кумулативне расподеле се може написати у смислу I, регулисане некомплетне бета функција. За т > 0,

$F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {1}{2}}\right),$

где је

$x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.$

Друге вредности се могу добити симетријом. Једна алтернативна формула, валидна за $t^{2}<\nu$, је

$\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(\nu +1)\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\tfrac {\nu }{2}}\right)}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}(\nu +1);{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {t^{2}}{\nu }}\right),$

где је ₂Ф₁ посебан случај хипергеометријске функције.

За информације о њеној инверзној функцији кумулативне дистрибуције, погледајте квантилна функција § Студентова т-дистрибуција.

Специјални случајеви

Одређене вредности $\nu$ дају посебно једноставну форму.

• $\nu =1$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(t).$

Функција густине:

$f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}.$

Погледајте Кошијеву расподелу

• $\nu =2$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}.$

Функција густине:

$f(t)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

• $\nu =3$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}{[{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {t}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan({\frac {t}{\sqrt {3}}})]}.$

Функција густине:

$f(t)={\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}.$

• $\nu =4$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}{[1-{\frac {1}{12}}{\frac {t^{2}}{1+{\frac {t^{2}}{4}}}}]}.$

Функција густине:

$f(t)={\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{\frac {5}{2}}}}.$

• $\nu =5$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}{[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}})+\arctan({\frac {t}{\sqrt {5}}})]}.$

Функција густине:

$f(t)={\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}.$

• $\nu =\infty$

Функција расподеле:

$F(t)={\tfrac {1}{2}}{[1+\operatorname {erf} ({\frac {t}{\sqrt {2}}})]}.$

Погледајте функцију грешке

Функција густине:

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}.$

Погледајте нормалну расподелу.

Литература

• Сенн, С.; Рицхардсон, W. (1994). „Тхе фирст т-тест”. Статистицс ин Медицине. 13 (8): 785—803. ПМИД 8047737. дои:10.1002/сим.4780130802. 
• Хогг РВ, Цраиг АТ (1978). Интродуцтион то Матхематицал Статистицс (4тх изд.). Неw Yорк: Мацмиллан. АСИН Б010WФО0СА. 
• Венаблес, W. Н.; Риплеy, Б. D. (2002). Модерн Апплиед Статистицс wитх С (Фоуртх изд.). Спрингер. 
• Гелман, Андреw; Јохн Б. Царлин; Хал С. Стерн; Доналд Б. Рубин (2003). Баyесиан Дата Аналyсис (Сецонд Едитион). ЦРЦ/Цхапман & Халл. ИСБН 1-58488-388-X. 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Студент дистрибутион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation (PDF) (short изд.)  First Students on page 112.