Википедија

Таблица множења

У математици, таблица множења је математичка табела која се користи за дефинисање операције множења за алгебарски систем.

Табела децималног множења традиционално се учи као битан део елементарне аритметике широм света, јер поставља основу за аритметичке операције са бројевима базе десет. Многи просветни радници сматрају да је потребно меморисати табелу до 9 × 9.[1]

Историја уреди

 
Ђингхуа бамбусне траке кинеске ере зараћених држава са табелом за децимално множење из 305 пне

Најстарије познате таблице множења користили су Вавилонци пре око 4000 година.[2] Међутим, они су користили базу од 60.[2] Најстарије познате таблице са базом од 10 су кинеске децималне таблице множења на бамбусовим тракама које датирају из око 305. године пне, током периода кинеских зараћених држава.[2]

 
„Питагорина табела” на Наперовим костима[3]

Табела множења се понекад приписује древном грчком математичару Питагори (570–495 пне). На многим језицима се и назива Питагорина табела (на пример француски, италијански и руски), понекад и на енглеском.[4] Грчко-римски математичар Никомак (60–120 године), следбеник неопитагореизма, укључио је таблицу множења у свој Увод у аритметику, док је најстарија преживела грчка таблица множења на воштаној таблици из 1. века нове ере и тренутно је смештена у Британском музеју.[5]

Године 493, Викторијус од Аквитаније написао је таблицу множења са 98-колона, која је дала (у римским бројевима) производ свих бројева од 2 до 50 и редови су били „списак бројева који почињу са једном хиљадом, спуштајући се за по стотину до сто, затим се спуштајући за по десет до десет, затим за по један до један, а затим фракције до 1/144.”[6]

У његовој књизи из 1820. године с насловом Филозофија аритметике,[7] математичар Џон Лесли објавио је таблицу множења до 99 × 99, која омогућава да се бројеви множе у паровима цифара одједном. Лесли је такође препоручио младим ученицима да запамте таблицу множења до 50 × 50. Илустрација испод приказује таблицу до 12 × 12, што је величина која се обично користи у школама.

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

Традиционално учење множења засновано је на меморисању стубаца у табели, у облику као што је

   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90

Облик писања таблице множења у стубцима с потпуним бројем реченица још се користи у неким земљама.

Обрасци у табелама уреди

У таблици множења постоји образац који може да помогне да се лакше запамти таблица. Он користи следеће цифре:

→   →
↑ 1 2 3 ↓ ↑ 2   4 ↓
4 5 6      
7 8 9 6   8
← ←
  0   5     0  
Слика 1: Непарни Слика 2: Парни

Слика 1 се користи за умношке од 1, 3, 7, и 9. Слика 2 се користи за умношке од 2, 4, 6, и 8. Ови се обрасци могу користити за памћење умножака било ког броја од 0 до 10, осим 5. Као што би се започело са бројем који се множи, када се множи са 0, остаје се на 0 (0 је спољна, тако да стрелице немају ефекта на 0, иначе нула је кориштена као веза за креирање трајног циклуса). Образац такође функционише са умношцима од 10, почевши од 1 и једноставно додајући 0, даје 10, а затим се сваки број у обрасцу примени на десетичну јединицу, као што би се то обично чинило са јединичном јединицом.

 
Кориштење мнемоника за памћење производа од 7

На пример, да би се запамтили сви производи од 7:

  1. Погледа се на 7 на првој слици и следи се стрелица.
  2. Следећи број у смеру стрелице је 4, те се мисли на следећи број након 7 који се завршава са 4, а то је 14.
  3. Следећи број у смеру стрелице је 1, те се мисли на следећи број након 14 који се завршава са 1, а то је 21.
  4. Након што се дође на врх ове колоне, почне се са дном следеће колоне и иде се у истом правцу. Број је 8, те се мисли на следећи број након 21 који се завршава са 8, а то је 28.
  5. Настави се на исти начин до последњег броја, 3, што одговара 63.
  6. Затим се користити 0 на дну. Она кореспондира броју 70.
  7. Затим се поново почне са 7. Овог пута ће то одговарати броју 77.
  8. Наставла се овако.

У апстрактној алгебри уреди

Табеле такође могу да дефинишу бинарне операције на групама, пољима, прстенима и другим алгебарским системима. У таквим се контекстима оне се могу назвати Кејлејовим табелама. Ово су табеле сабирања и множења за коначно поље Z5.

За сваки природни број n, постоје табеле сабирања и множења за прстен Zn.

За друге примере, погледајте групу, и октонион.

Кинеска таблица множења уреди

Главни чланак: Кинеска таблица множења

Кинеска таблица множења састоји се од осамдесет и једне реченице са четири или пет кинеских знакова по реченици, што деци олакшава учење напамет. Краћа верзија табеле састоји се од само четрдесет и пет реченица, јер су појмови као што су „девет осмица даје седамдесет два” идентични са „осам деветки даје седамдесет два”, тако да се не морају два пута учити.[8] Она се често назива девет-девет табела или једноставно девет-девет, јер је у давним временима девет-девет табела почињала са 9×9[9]: девет деветки даје осамдесет један, осам деветки даје седамдесет два ... седам деветки даје шездесет три, итд. две јединице дају један. Према мишљењу познатог научника Ванг Гуовеја, девет-девет табела је вероватно почињала са девет због „обожавања деветке” у древној Кини; цар се у Књизи промена сматрао „девет-пет надмоћним”.

Бамбусне траке од децималног множења зараћених држава уреди

Свежан од 21 бамбусне траке датиране на 305 пне током периода зараћених држава у колекцији Ђингхуа бамбусних трака (清华简) представља најстарији познати пример на свету децималне таблице множења.[10]

 
Дијаграм децималне таблице множења из периода зараћених држава за рачунање 12 × 34.5

Математичка реформа у САД базирана на стандарду уреди

Године 1989, Национално веће наставника математике (енгл. National Council of Teachers of Mathematics - NCTM) развило је нове стандарде који су се заснивали на уверењу да би сви студенти требало да науче вештине размишљања вишег реда, те је препоручено да се смањи нагласак на учењу традиционалних метода које су се ослањале на учење напамет, попут таблица множења. Широко усвојени текстови као што су Истраживања о бројевима, подацима и свемиру (шире познати као ТЕРЦ према њиховом састављачу, Техничким образовним истраживачким центрима (енгл. Technical Education Research Centers)) изоставили су помагала попут таблица множења у раним издањима. НЦТМ је у својим фокалним тачкама из 2006. године јасно ставио до знања да се морају научити основне математичке чињенице, мада не постоји консензус о томе да ли је учење напамет најбоља метода.

Види још уреди

Референце уреди

  1. ^ Триветт, Јохн (1980), „Тхе Мултиплицатион Табле: То Бе Меморизед ор Мастеред!”, Фор тхе Леарнинг оф Матхематицс, 1 (1): 21—25, ЈСТОР 40247697 .
  2. ^ а б в Јане Qиу (7. 1. 2014). „Анциент тимес табле хидден ин Цхинесе бамбоо стрипс”. Натуре Неwс. дои:10.1038/натуре.2014.14482. 
  3. ^ Wикисоурце:Паге:Популар Сциенце Монтхлy Волуме 26.дјву/467
  4. ^ фор еxампле ин Ан Елементарy Треатисе он Аритхметиц бy Јохн Фаррар
  5. ^ Давид Е. Смитх (1958), Хисторy оф Матхематицс, Волуме I: Генерал Сурвеy оф тхе Хисторy оф Елементарy Матхематицс. Неw Yорк: Довер Публицатионс (а репринт оф тхе 1951 публицатион), ISBN 0-486-20429-4. стр. 58, 129..
  6. ^ Давид W. Махер анд Јохн Ф. Макоwски. "Литерарy евиденце фор Роман аритхметиц wитх фрацтионс". Цлассицал Пхилологy, 96/4 (Оцтобер 2001), п. 383.
  7. ^ Леслие, Јохн (1820). Тхе Пхилосопхy оф Аритхметиц; Еxхибитинг а Прогрессиве Виеw оф тхе Тхеорy анд Працтице оф Цалцулатион, wитх Таблес фор тхе Мултиплицатион оф Нумберс ас Фар ас Оне Тхоусанд. Единбургх: Абернетхy & Wалкер. 
  8. ^ Прадо, Јероме; Лу, Јиаyан; Донг, Xи; Зхоу, Xинлин; Боотх, Јамес Р (мај 2013). „Тхе неурал басес оф тхе мултиплицатион проблем-сизе еффецт ацросс цоунтриес”. Фронтиерс ин Хуман Неуросциенце. 7: 52. Приступљено 12. 4. 2019. 
  9. ^ Лам Лаy Yонг; Анг Тиан Се (2004). Флеетинг Фоотстепс: Трацинг тхе Цонцептион оф Аритхметиц анд Алгебра ин анциент Цхина. Wорлд Сциентифиц. стр. 73—77. ИСБН 9789814483605. 
  10. ^ Натуре артицле Тхе 2,300-yеар-олд матриx ис тхе wорлд'с олдест децимал мултиплицатион табле

Литература уреди

Спољашње везе уреди

 
Таблица множења на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Tablica_množenja&oldid=27675718”